Дискретно-непрерывная математика (стр. 115 )

Здесь единичный 3-вектор приращения движения eβ выражен, согласно (136А); величина угла ε между может заключаться в пределах 0÷π.

Производная (223А) выражается функционально как псевдоаналог первой формулы Френе - Серре, поскольку используемый в ней дифференциал дуги имеет псевдоевклидову метрику. Абсолютный 4-вектор i(cτ) при движении материальной точки М вдоль своей миро­вой линии вращается в её окрестности в пределах соприкасающейся псевдоплоскостис абсолютной мгновенной гиперболической

угловой псевдоскоростью

(225А)

где знаки « + » и « — » выбираются для ускоренного и замедленного движений (соответственно кривая выпукла или вогнута). Обратим внимание, что здесьвыражается в некотором абсолютном и пока 2-х ортовом базисе В таком базисе

внутреннее ускорение g(τ) всегда имеет тангенциальный характер. Причём в нём cos ε = ± 1 для ускоренного и замедленного движений в формуле (224А). Но если угловую скорость вращения касательной определить через дифференциал длины дуги dcτ, то тогда она будет тождественна гиперболической кривизне мировой линии (физический смысл последней).

* * *

Далее рассмотрим более подробно, нежели в гл. 7А, ортопроек-ционное тригонометрическое представление абсолютных векторных характеристик движения второго порядка в универсальном базисе Разложим абсолютные векторы кривизны и внутреннего ускорения на две относительные и ортогональные друг другу проекции - танген­циальную и нормальную по отношению к вектору скорости

(226А)

Обратим внимание на то, что в таком представлении λ≥2. (То есть формально оно может применяться и для плоской кривой). Здесь

- тангенциальная и нормальная проекции гиперболической кривизны; единичный 4-вектор тангенциальной кривизны,

единичный 4-вектор нормальной кривизны,

единичный 3-вектор ортогонального приращения в который применялся ранее в (136А), (145А) и (161 А). Из формулы (226А) непосредственно следует ряд соотношений.

Для 4-вектора кривизны имеем:

(227А)

Для трёх векторов и скаляров имеем:

(228А)

Последнее имеет место в мгновенном абсолютном базиседля произвольного движения и в универсальном базисе для простого прямолинейного движения.

Напомним также основные соотношения для ортопроекций абсолютного движения в базисе (из гл. 7А):

(в этих соотношениях 3-вектор еβ берётся здесь из 4-вектора р);

(229А)

— при этом — см. формулу(80А);

Векторы образуют прямоугольный треугольник в

плоскости Их модули подчиняются теореме Пифагора, поэтому

гипотенузы в них больше катетов. Данные ортогональные разложения кривизны и ускорения (зависящие от базиса) по отношению к вектору скорости приводят к обеим их релятивистским проекциям

(отличие от принципа Гсрглотца - см. гл. 2А и 4А).

Указанные векторы направлены по псевдонормалямвдоль

осей Ортопроекции ускоренного движения

отображаются локально в двух координатных плоскостях.

Тангенциальная проекция описывается локально как гиперболичес­кое движение в радиусато есть с ускорением

Его проекция накак физическое

движение в последнем есть прямая линия, направленная по вектору v:

— см. формулу (167А).

Нормальная проекция описывается локалъно как начальное гиперболическое движение, или тождественное ему псевдокруговое

движение в радиусато есть с ускорением

Его проекция на то же как физическое движение в

последнем есть окружность вещественного радиуса r. Причём

- см. формулу (168А)

(векторы коллинеарны, векторы перпендикулярны),

Последняя формула связывает тригонометрическим образом радиу­сы нормальных гиперболической и сферической кривизн. В частности,

при γ=0 (v=0) имеем: при γ = ω имеем: при имеем: (то есть касательная i(cτ) стремится к изотропному конусу). Двумя маргинальными случаями являются приводимые ниже простые движения (относительно

Простое тангенциально ускоренное движение, где

что тождественно по результату (80А). (В частности, при

совершается интегрально гиперболическое движение, а его проекция на есть равноускоренное (замедленное) прямолинейное физическое движение.)

Простое нормально ускоренное движение, где

(В частности, при

совершается интегрально псевдовинтовое движение, а его проекция на < есть равномерное планетарное физическое движение.)

Угловая скорость планетарного физического движения в выражается в виде:

то есть нерелятивистским образом;

(см. формулу (168 А)).

Для сравнения приведём аналогичное ортогональное разложение ускорения в в нерелятивистской механике, то есть в пространстве-времени Лагранжа (λ≥ 2):

где