Дискретно-непрерывная математика (стр. 37 )

Строго эквивалентные пучки имеют одни и те же минимальные индексы. Действительно, пусть даны два таких пучка: — квадратные неособенные матрицы). Тогда уравнение (375) для первого пучка после почленного умножения слева на Р может быть записано так:

Отсюда видно, что все решения уравнения (31) после умножения слева на Q-1 дают полную систему решений уравнения

Поэтому пучки имеют одни и те же минимальные индексы для столбцов. Совпадение минимальных индексов для строк устанавли­вается переходом к транспонированным пучкам.

Вычислим минимальные индексы для канонической квазидиагональной матрицы

(378)

— регулярный пучок, имеющий нормальную форму (349)]. Заметим предварительно, что полная система минимальных индексов для столбцов (строк) квазидиагональной матрицы получается соединением из соот­ветствующих систем минимальных индексов отдельных диагональных блоков. Матрица Lε имеет только один индекс ε для столбцов, а строки этой матрицы линейно независимы. Точно так же матрица L′η имеет только один индекс η для строк, а столбцы этой матрицы линейно независимы. Регулярный пучок совсем не имеет минимальных индексов. Поэтому матрица (378) имеет минимальные индексы для столбцов

а для строк

Заметим еще, что матрица Lε не имеет элементарных делителей, так как среди ее миноров максимального порядка ε имеется минор, равный единице, и минор, равный λε. Это же положение, разумеется, верно и для транспониро­ванной матрицы L'ε. Так как элементарные делители квазидиагональной мат­рицы получаются путем соединения элементарных делителей отдельных диаго­нальных блоков, то элементарные делители λ-матрицы (378) совпадают с элементарными делителями ее регулярного «ядра» .

Каноническая форма пучка (378) вполне определяется заданием минимальных индексови элементарных делителей этого пучка или (что то же) строгоэквивалентного ему пучка А + λВ. Так как два пучка, имеющих одну и ту же каноническую форму, строго эквивалентны между собой, то мы доказали следующую теорему:

Теорема 5 (Кронекера). Для того чтобы два произвольных пучка прямоугольных матриц одних и тех же размеров т×п были строго эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы эти пучки имели одни и те же минимальные индексы и одни и те же («конечные» и «бесконечные») элементарные делители.

В заключение для наглядности выпишем каноническую форму пучка А+λВ, имеющего минимальные индексы и элементарные делители

(379)

(Все неотмеченные элементы этой матрицы равны нулю).

11.36. Сингулярные пучки квадратичных форм

Пусть даны две комплексные квадратичные формы:

(380)

они порождают пучок квадратичных формЭтому пучку форм соответствует пучок симметричных матриц

Если мы в пучке форм переменные подвергнем неособенному линейному преобразованию то преобразованному пучку форм будет соответствовать пучок матриц

(381)

здесь Т — постоянная (т. е. не зависящая от λ) неособенная квадратная матрица п-го порядка.

Два пучка матрицсвязанные тождеством (381), называются конгруэнтными.

Очевидно, что конгруэнтность представляет собой специальный частный случай строгой эквивалентности пучков матриц. Однако в тех случаях, когда рассматривается конгруэнтность двух пучков симметрических (или кососимметрических) матриц, понятие конгруэнтности совпадает с понятием строгой эквивалентности. Это утверждает

Теорема 6. Два строго эквивалентных пучка комплексных симметри­ческих (или кососимметрических) матриц всегда конгруэнтны между собой.

Доказательство. Пусть даны два строго эквивалентных пучка сим­метрических (кососимметрических) матриц

(382) Переходя к транспонированным матрицам, получаем:

(383)

Из (382) и (383) найдем:

(384)

Полагая

(385)

равенство (384) перепишем так:

(386)

Из (386) легко следует:

и вообще

(387)

где

(388)

а f(λ) — произвольный многочлен относительно λ. Допустим, что этот мно­гочлен так выбран, чтоТогда из (387) найдем:

(389)

Подставляя полученное выражение для Λ в (382), будем иметь:

(390)

Для того чтобы это соотношение было преобразованием конгруэнтности, нужно, чтобы выполнялось равенство

которое может быть переписано так:

Но матрицаудовлетворит этому уравнению, если в качестве f(λ) взять интерполяционный многочленна спектре матрицы U. Это возможно сделать, поскольку многозначная функцияимеет однозначную ветвь, опре­деленную на спектре матрицы U, так как

После этого равенство (390) станет условием конгруэнтности

(391)

Из доказанной теоремы и из теоремы 5 вытекает

Следствие. Два пучка квадратичных форм

могут быть переведены друг в друга преобразованием тогда и только тогда, когда пучки симметрических матриц имеют одни и те же элементарные делители («конечные» и «бесконечные») и одни и те же минимальные индексы.

Примечание. Для пучка симметрических матриц строки и столбцы имеют одни и те же минимальные индексы:

(392),

Поставим следующий вопрос. Даны две произвольные комплексные квадра­тичные формы

При каких условиях неособенным преобразованием переменных можно одновременно привести эти формы к суммам квадратов

(393)

Аналогичный вопрос возникает для двух эрмитовых форм но в этом случае вместо (393) следует писать:

(394)