Дискретно-непрерывная математика (стр. 103 )

Траектория гиперболического (геодезического) движения i2→i3 принадлежит сечению гиперболоида II псевдоплоскостью ротации матрицыАналитически она производится

при непрерывном преобразовании i → (i + di) путём изменения в матрице roth Г23 значения скалярного угла от 0 до γ23 при еβ = const. В модели Клейна внутри абсолюта, или тангенсной модели (рис. 4) эта траектория отображается прямолинейным отрезком th γ23. На гипербо­лоиде II нетрудно реализовать гиперболический треугольник (и далее другие многоугольники) через полярное представление:

Централизованный треугольник <u1, u2, u3> трансформируется в про­извольный треугольник путём активного преобразования координат в том же

Гиперболоид I

(149 А)

- 4×1 единичный радиус-вектор точки гиперболоида I. Метрический инвариант выражаетсяв виде:

(150А)

Остальные тригонометрические функции получаются делением базового элемента е либо на ch γ, либо на sh γ. Далее,

радиус-вектор секанса, конец которого ле­жит на тангенсно-катангенсной цилиндрической евклидовой гипер­поверхности (нулевому значению секанса соответствует принадлеж­ность вектора изотропному конусу),

радиус-вектор косеканса,

конец которого лежит на тангенсно-котангенсной евклидовой гипер­плоскости (нулевому значению косеканса соответствует принадлеж­ность вектора изотропному конусу),

(Все эти векторы пространствуподобны.)

Допустимое гиперболическое преобразование (движение) какого-либо точечного элемента единичного гиперболоида І в активной форме в представляется в виде:

(151А)

В силу топологии модели Клейна вне абсолюта, гомеоморфной гиперболоиду I и псевдосфере Бельтрами (рис. 4), понятно, что между произвольными элементами е2 и е3 не всегда может быть реализовано чисто гиперболическое движение. (В этом же особенность геометрии в большом для гиперболоида I.) Движение roth Г2→3 реализуется тогда и только тогда, когда котангенсные проекции элементов е2 и е3 в модели Клейна вне абсолюта можно соединить прямолинейным отрезком cth γ23, не пересекая и не касаясь овального абсолюта внутри отрезка, и при этом наоборот, пересекая овальный абсолют вне отрезка, то есть его прямолинейным продолжением.

В простейшем случае согласно реверсивному

аналогу (135А); при этом имеем:

Исходя из преобразования е3 = Т∙е2 в общей комбинированной форме с учётом промежуточного приведения элементов к виду (149А), то есть к в базисеимеем:

(152 А)

В частности, в указанном выше случае

Тогда заключаем, что матрица гиперболического движения е2 → е3, по

гиперболоиду I та же, что и для гиперболоида II при движении

* * *

Используя аналогичным образом матричный подход ротационной тензорной тригонометрии, но уже в самом общем случае, определим далее основные итоговые характеристики (скалярные, векторные, тензорные) для многоступенчатого (суммарного) гиперболического движения. При этом установим также в самой общей форме закон суммирования частных движений в гиперболической геометрии и, что тождественно, - общий закон сложения скоростей в СТО. В этом случае матрица движения Т, или она же — матрица непрерывного однородного преобразования Лоренца имеет общую тригонометрическую каноническую форму, выражаемую в в виде:

Матрица roth Г вычисляется по формуле (114А). Матрица rot Θ в целом выражается канонической формой (497). Здесь она вычисляется либо по формуле (115А), либо через представление (497) с использованием при этом значений и формул (120А), (499). Далее имеем:

(155А)

Вместе с полярным представлением (153 А) формулы (154А). (155А) дают в генеральной форме закон суммирования многоступенчатых движений в геометрии Лобачевского - Больяи и соответственно физических скоростей в СТО. Скалярные параметры движения не изменяются при зеркальной перестановке частных движений. Но зеркальная перестановка вызывает транспонирование общей матрицы тензора движения Т при исходном базисе

Тензорная тригонометрия в рассматриваемом здесь варианте применима к решению разнообразных задач гиперболической геометрии и кинематики СТО. Она представляет особый интерес для геометрических объектов, задаваемых внешним образом в псевдоевклидовом пространстве Минковского. Например, длины и расстояния вычисляются через γ и dγ; площади фигур - через θ и dθ; объёмы тел - через площади и ортогональные им высоты.

* * *

Вернёмся к закону суммирования движений в скалярной и векторной тангенсных формах (125А) и (138А). С точки зрения модели Клейна внутри абсолюта (рис. 4) в универсальном базисе суммирова­ние тангенсных проекций начинается из центра проектирования О - общего центра всех псевдодекартовых базисовПервая тангенсная проекция угла th γ12 евклидово не искажается. Как вектор она исходит из точки О (рис. 4А). Последующие тангенсные проекции th γ23, th γ34 и т. д. прилагаются в конце предыдущего вектора и в общем случае евклидово искажаются по длине. Далее суббазисиграет роль

однородных координат. Согласно ортогональному тангенсному представлению (125А) и (138А). перпендикулярная проекция искажён­ного вектора th γ23вычисляется вследующим образом:

(156А)

Соответствующая ей параллельная проекция искажённого вектора th γ23 вычисляется как разность искажённой параллельной проекции в (138 А) и её неискажённой части th γ12:

(157 А)

В векторной сумме, составляющей th γ13 [рис. 4А (2)], искажается только второй вектор th γ23. Заметим, что для катетов (156А), (157А) и гипотенузы th γ23 в прямоугольном треугольнике «22'3» теорема Пифагора не выполняется, так как ни один из катетов не исходит из начала универсального базисаа формально — в силу их искажения. В (156А), (157А) фигурируют три коэффициента искажения:

- коэффициент, вызванный гиперболическим суммированием отрезков γ12 и ;

- коэффициент, вызванный поправкой на изменение знаменателя-косинуса в (138А), или релятивистской поправкой на изменение координатного времени в точке О', где осуществляется суммирование, при его преобразовании

— коэффициент, вызванный перекрёстным характером проецирования в модели Клейна вектора lf параллельно или тождественным ему лоренцевым сокращением.

В отличие от предыдущих последний коэффициент k3 воздействует только на параллельную проекцию вектора th γ23. Заметим, что есть собственное евклидово подпространство в базисе где матрица roth Г12 полностью определяется значениями γ12 и его еα.