Дискретно-непрерывная математика (стр. 51 )

12.2. Генеральное неравенство средних величин

В модуле 13 особое значение имеют положительно (полу)определённые ранга r симметричные или эрмитовы матрицы и их скалярные инварианты. Для таких матриц вековое уравнение в принятой знакопеременной форме име­ет необходимо положительные скалярные коэффициенты вплоть до порядка r' = r = rang В. Кроме того, все n его решений (собственных значений) — вещественные неотрицательные числа. Для совокупности n неотрицательных чисел μi, причём r≤ n из них ненулевые, опреде­лим специальные характеристики - малые медианы (или средние алгебраические), большие медианы (или средние степенные):

(4) (5)

(6)

где черта сверху означает усреднение. Здесь st(μi) - суммы Виета, S0(μi) - суммы Варинга, n - размер совокупностичисел или матри­цы, t или θ - порядок соответствующих средних величин, Сtn - биноминальные коэффициенты Ньютона. (Среднее арифметическое является пересечением множеств средних алгебраических и средних степенных.)

При t > r малые медианы вырождаются в нуль, что имеет место при наличии нулевых исходных чисел. Если же таковые отсутствуют, то могут быть полезными реверсивные аналоги малых и больших медиан, которые определяются как

(7)

(8)

(9)

Они производятся как обращенные средние от обратных исходных чисел и также являются средними величинами. Например, если прямая медиана относится к косинусному инварианту, то реверсивная медиана относится к секансному инварианту, но обратна ему, как и должно быть для секанса. (Среднее геометрическое является пересечением множеств средних алгебраических и их реверсивных аналогов.)

Для совокупности n вещественных положительных чисел <μ1>, из которых хотя бы одно число отличается от другого, имеет место генеральное неравенство средних величин, охватывающее всю область данной совокупности:

(10)

(11)

(12)

(13)

Знак же равенства, причём сразу для всех медиан (средних величин), имеет место тогда и только тогда, когда . Если бы

совокупность содержала s = n — r нулевых чисел, то цепь неравенств вырождалась справа, начиная с а слева все медианы оставались

ненулевыми. При этом в случае равенства ненулевых чисел между собой медианы изменялись бы как функции:

Генеральное неравенство содержит как частные случаи неравен­ство Коши для средних арифметического и геометрического и его реверсивный аналог для средних гармонического и геометрического, неравенство Маклорена для средних алгебраических и его реверсив­ный аналог и неравенство Гёлъдера для средних арифметического и степенных и его реверсивный аналог. Для спектрально поло­жительной матрицы (для которой μi> 0) определим, в частности, арифметическую, геометрическую и гармоническую медианы:

(14)

(15)

(16)

Если В = АА′ где А есть n×m-матрица и, в частности, А = а есть n×1-вектор, то арифметическая медиана выражается через нормы Фробениуса и Евклида как

Для спектрально положительной матрицы (μi>0) в соответствии с вышеуказанным генеральным неравенством справедливы оценки:

(17)

Дефекты этих неравенств тем меньше, чем ближе друг к дрyгу все собственные значения матрицы. Равенство имеет место тогда и только тогда, когда матрица прямо пропорциональна единичной матрице. Очевидно, что предельные медианы совпадают с крайними собственными значениями:

(18)

(19)

Далее рассмотрим доказательство сформулированного выше генерального неравенства средних величин в целом и его анализ. Воспользуемся дифференциальным методом изучения экстремума. Определим скалярные функции для разности и для отношения соответствующих средних величин из совокупности n положительных чисел задающих радиус-вектор в первом квандранте:

Функции r и R, а также f и F, на области положительных хi имеют общее и единственное стационарное значение с аргументом-решением в форме центрального луча <b> - биссектрисы первого квадранта, соответствующее их нулевому градиенту:

где b — любая точка этой биссектрисы, то есть это решение

В силу своей вогнутости, эти функции принимают минимальные значения. Например, матрицы Гессе в окрестности биссектрисы — положительно полуопределённые ранга (n — 1):

где It есть тотально-единичная матрица, все элементы которой рав­ны 1. Детерминанты главных миноров матрицы G порядка r:

Матрица Гессе вырождена вдоль биссектрисы — линейного подпрос­транства размерности 1. Учитывая вышеуказанные стационарные значения функций, получаем:

Этот анализ показывает, что в окрестности биссектрисы <b>, во-первых, матрицы Гессе отношений соседних средних величин не зависят от порядка; во-вторых, они изменяются аддитивно с ростом интервала между порядками; в-третьих, они совпадают для функций отношений между соседними средними степенными и отношения между средними арифметическим и геометрическим. Для отношений соседних средних алгебраических эта же матрица делится на (n — 1) равных частей. Но самое важное заключается в том, что матрица Гессе для функции отношения между средним степенным и средним арифметическим на биссектрисе неограниченно возрастает пропорционально порядку θ. Хотя при θ→∞ в силу (18) эта же функция F стремится к отношению xmax/, изменяется непрерывно и на биссектрисе равна 1 (минимуму). Крометого, матрица Гессе для функции отношения соседних средних степенных на биссектрисе даже при θ→∞ сохраняет постоянное значение. Хотя в силу (18) эта же функция F стремится к 1 независимо от аргумента, то есть к константе, для которой градиент и матрица Гессе нулевые. Эти, казалось бы, противоречивые факты объясняются влиянием соотношения бесконечно малого (отклонения аргумента от биссектрисы) и бесконечно большого (параметра 9). Вследствие чего в окрестности биссектрисы матрица Гессе терпит разрыв и становится нулевой. В свою очередь, функцияпри θ→∞ имеет постоянное значение 1, но с точностью до бесконечно малой зависит от аргумента, принимая абсолютный минимум (1) на биссектрисе, где

принимает сразу же это минимальное значение. Более наглядно указанные закономерности можно продемон­стрировать на модельной функции от одного скалярного аргумента, например:

Здесь х≥1 играет роль аргумента и максимального элемента из выборки <1, х>. При конечном θ:

При бесконечном θ:

Ввиду разрыва матрицы Гессе в окрестности биссектрисы можно сделать вывод, что трёхвалентная симметричная матрица третьих производных при θ→∞ должна быть на биссектрисе бесконечной, но в отрицательной области. Отметим также, что для аналогичных функций реверсивных средних величин все вышеизложенные законо­мерности остаются в силе, но знак перед матрицами Гессе меняется на противоположный, а формальный их вид сохраняется. То же происходит, если в функциях отношений средних величин поменять местами числитель и знаменатель. Таким образом, с учётом предельных формул(18) и (19), доказательство и анализ генерального неравенства средних величин нами завершён. Далее рассмотрим отдельные возможности его применения в теории решений алгебраических уравнений, в том числе векового уравнения квадратной матрицы.