Дискретно-непрерывная математика (стр. 72 )

Микромодуль 37.

Тригонометрическая природа

коммутативности и антикоммутативности

13.18. Коммутативность простых матриц

Биортотональные матрицы коммутативны и антикоммутативны:

Они обязательно сингулярны: r1 + r2 ≤n.

Простые биортогональные матрицы приводятся к диагональной форме в некотором общем базисе, причём D1∙D2=Z. С тригонометрической точки зрения достаточно рассмотреть отношения мультипликативности только для несингулярных простых матриц, то есть без биортогональных блоков. Коммутативные простые матрицы, как известно, приводятся к диагональной форме в некотором общем базисе:

Диагональность этих форм, а следовательно, и коммутативность матриц сохраняются при воздействии на любую из диагональных 2×2-клеток, например (j, k), согласованных с ней модальных преобразований нижеуказанных простейших типов:

Первое преобразование меняет направления осей координат и не затрагивает диагональной формы. Второе преобразование вызывает перестановку осей координат и диагональных элементов. Произведения таких простейших преобразований в любых сочетаниях, обусловленных размером матриц, составляют некоторое множество модальных матриц по отношению к данной диагональной форме как инвариантной структуре. При этом предполагается, что все собственные значения каждой из матриц различны. В противном случае указанное множество расширяется за счёт тех преобразований, которые изменяют базис в пределах пересечения собственных подпространств Р1 и Р2. Ввиду того, что рассматриваемые коммутативные матрицы с изменением базиса преобразуются как двухвалентные тензоры, вышеуказанные типы модальных матриц в чистых формах сводятся к тригонометрическим преобразованиям - ротационным и рефлективным:

(366)

Следовательно, базис диагональной формы как простейшей структу­ры в данном случае можно определить с точностью до согласованных рефлексий или ротаций на тензорные углы или где

(В гиперболической трактовке тензорному сферичес­кому углу π/2 отвечает бесконечный гиперболический аналог А, при этом как угловой аргумент возможен только он и нулевой угол.)

13.19. Антикоммутативность пары простых матриц

Из антикоммутативности пары простых матриц следуют соотно­шения:

В соответствии с принципом бинарности антикоммутативные простые матрицы (без биортогональных блоков) приводятся к согласованным бинарным клеточным формам в некотором общем базисе:

Размерность таких несингулярных матриц обязательно чётная. Далее выполним общее модальное преобразование для обеих матриц Р1 и Р2 - причём такое, чтобы Р1 стала диагональной. Тогда в новом общем базисе антикоммутативность этих простых матриц алгебраически возможна тогда и только тогда, когда согласованные 2×2-клетки имеют вид:

(367)

Если же наоборот диагонализовать Р2, то

(368)

где

Ковариантная модальная матрица столбцов, приводящая контра-диагональную форму в (367) и (368) к диагональной, вычисляется, например, с использованием ранее приведенных результатов. Модальное преобра­зование для самого общего случая представляется в аффинной тригонометрической форме следующим образом'

(369)

(370)

(371) где

То есть это та же ротационная сферическая матрица, но выраженная в некотором аффинном базисе. В частности, в вещественном декартовом базисе это в комплексном бинарном декартовом базисе (271)

Это . Кроме того, с учётом (366)—(368) диагональные и

контрадиагональные формы как структуры повторяются в базисах через согласованные прямые тензорные углы или кратные им. Они же как структуры устойчивы к согласованным с ними рефлексиям. Ввиду изложенного сформулируем основной результат.

Пара несингулярных простых матриц Р1 и Р2 антикоммутативна тогда и только тогда, когда базисы их диагональных форм связаны в общем случае аффинной сферической ротацией на согласованный тензорный угол Антикоммутативные несингучярные простые

матрицы имеют обязательно четный размер. Антикоммутативные сингулярные простые матрицы имеют необходимо согчасованные биортогональные блоки, приводимые к диагональной форме в общем базисе (В гиперболической трактовке - вышеуказанному сфе­рическому углу отвечает его гиперболический аналог Обратим внимание на следующее: если ротационная и внешняя мо­дальная матрицы согласованы по 2×2-клеткам, то

Например, именно так согласованы модальные матрицы, применяемые после преобразования VW.

Ниже рассмотрены характерные частные случаи, имеющие отноше­ние к тензорной тригонометрии. Имеем:

Р1 = S1, Р2 = S2 - антикоммутативные вещественные нормальные матрицы или комплексные адекватно нормальные матрицы. Причём они либо симметричны, либо кососимметричны, что отвечает трём вариантам пар S1 и S2, S и К, К1 и К2, как указано ниже:

P1=S1, P2 = S2, S12 + S22 = I. Этот случай соответствует (183).

P1 = S, P2 = K, S2-K2 = I. Этот случай соответствует (209).

Дополнительно рассмотрим отвечающие им примеры комплексных эрмитово нормальных пар антикоммутативных матриц N1 и N2. Имеем:

По прежнему,

В более сложных случаях имеем:

Р1 = N1 Р2 = N2 - антикоммутативные комплексные эрмитово нор­мальные матрицы В частности, они могут быть эрмитовыми и косоэрмитовыми, что соответствует парам Н1 и Н2, Н и Q, Q1 и Q2. (372)

где

Ротационная матрица (372) есть частный случай (371) В том числе, при β = π/4 имеем модальную матрицу соответ-

ствующую комплексному бинарному декартову базису. Более общо:

что тождественно по

результату рефлективному преобразованию (271). В самом же общем случае формула (372) выражаетв эрмитово ортогональном

базисе с углом комплексного сдвига β12. В вариантах (367), (368) имеем

P1 = H1, P2 = Н2 - антикоммутативная пара эрмитовых матриц. В случае это суть эрмитизированные проективные косинус и синус

Р1= Н, Р2 = Q - антикоммутативная пара из эрмитовой и косоэрмитовой матриц. В случае это суть эрмитизированные проективные

секанс и тангенс ( Н2 - Q2 = I)

Таким образом, мы выявили все основные типы антикоммутативных пар простых матриц, представляющие интерес в изучаемой тензорной тригонометрии

Микромодуль 38.

Тригонометрические спектры и неравенства