Дискретно-непрерывная математика (стр. 80 )

Однако все частные ротации должны быть тригонометрически согласованы с тензором Данное согласование, имея ввиду структуры ротационных матриц и тензора, означает следующее. Сферические ротации, согласно (468). должны отвечать либо положительной, либо отрицательной единичным частям тензора, либо быть их произведением, необходимо коммутативным:

(473)

Гиперболические ротации, согласно (469), своими тригонометричес­кими клетками должны отвечать двум равным блокам, взятым из положительной и отрицательной единичных частей рефлектор-тензора. В частности, при q = 1 они имеют формы (363), (364).

13.33. Полярное представление псевдоевклидовых ротаций

Любое линейное непрерывное геометрическое преобразование в пределах одной из вышеуказанных полостей изотропного конуса всегда сводится к какому-то тригонометрическому преобразованию из группы <Т>. При этом в универсальном базисе любое общее преобразование (460) через полярное представление сводится к произведению одной ортосферической и одной гиперболической ротационных матриц:

(474), (475) где

(476)

Полярное представление выводится следующим образом:

Отметим, что в силу (476), и Г имеют один и тот же спектр <γj >.

Далее полярное представление-произведение общего ротационного преобразования применяется для упрощённого описания много­ступенчатых гиперболических ротаций и, в частности, таковых релятивистских движений в СТО, а также многоступенчатых движений во внешних и во внутренних сферической и гиперболической геометриях. Заметим, что в классическом полярном представлении модального линейного преобразования

(477), (478)

матрицы R и выражены в координатах какого-либо единичного

декартова базиса. В этом базисе они являются самостоятельными преобразованиями - ортогональным и симметричным. Но по геометрической сути полярного представления эти преобразования действуют последовательно, а именно оотогональное — в базисе симметричное - в базисе Поэтому второе

преобразованиенужно транслировать из координат базиса

в координаты базиса Тогда обе матрицы в пооизведении (477) выражаются в исходном базисе Если же использовать матрицы преобразований в координатах базисов, где они действуют, то есть в исконном виде, то тогда их последовательность в полярном представлении становится обратной, что соответствует (478). В этом заключается суть различия между формами (477) и (478). Тот же смысл наглядно проявляется при пассивном преобразовании координат одного и того же линейного элемента:

(479)

где каждое из обратных преобразований действует в своем базисе.

В линейном псевдоевклидовом пространстве выделим множество правых псевдодекартовых базисов Все они ротационно кон-

груэнтны. Переход из к новому базисусогласно (474). (475), представляется в двух полярных формах: (480) (481)

Здесь ротационные матрицывыражены в координатах

какого-либо единичного универсального базиса. В этом базисе их мож­но рассматривать как самостоятельные ротационные преобразования - сферическое и гиперболическое. Но в полярном представлении они действуют последовательно. А именно, сферическое - в базисе гиперболическое - в базисе После трансляции

второго преобразования из обе матрицы выражаются в что

соответствует (480). Если же использовать матрицы преобразований в координатах базисов, где они действуют, то тогда их последовательность в полярном представлении становится обратной, что соответствует (481). Итак, истинно гиперболическая ротация Roth Г совершается в базисе после сферической ротации исходного базиса

В матрице любого псевдодекартового базиса первые n столбцов задают собственное , остальные q столбцов задают собственное

метрического тензора в сумме (452). С учётом структуры (473) для матрицы Rot Θ при преобразовании из любого универсального базиса (467) новые собственные подпространства задаются тождественно столбцами любой из матриц: , Т и Roth Г. Например, из (480) имеем:

(482)

где в квадратных скобках взяты либо первые n, либо остальные q столбцов. В частности, в пространстве Минковского <Рn+1> при преобразовании из универсального базиса новые и ось

задаются тождественно столбцами матриц: , Т и Roth Г. Последняя как элементарная имеет структуру (363), (364). Смысл сказанного состоит в том, что любое тригонометрическое преобразование (460), применительно к собственным евклидовым подпространствам и в целом как множествам точечных элементов, в исходном универсальном базисе сводится к их чисто гиперболической ротации, взятой из представления (474). В частности, это справедливо для оси в пространстве Минковского, так как она в целом является собственным подпространством тензора Следовательно, используя полярное представление (474), любое сложное тригонометрическое преобразование Т универсального базиса, например многоступенчатое, для собственных подпространств метрического тензора сводится к их чисто гиперболической ротации Напомним,

что матрицы всех псевдодекартовых базисов (которые, в частности, задают собственные подпространства метрического рефлектор-тензора) выражаются в исходном универсальном базисе В универсальных координатных базисах в СТО описываются мировые события (процессы и фиксации) именно с точки зрения относительно неподвижного наблюдателя. Среди них - простейший по форме исходный базис. В частности, в универсальных базисах реализуется сферическо-гиперболическая аналогия любого конкретного типа, например синус-тангенсная.

Кроме того, заметим, что при q = 1 матрица в (473) вырож-

дается в единицу. Поэтому в <Р n+1> непрерывное преобразование Лоренца любой точки на оси независимо от исходного базиса, сводится к её чисто гиперболической ротации - либо как тензорного точечного объекта (при пассивном преобразовании координат), либо как производящего точечного элемента (при активном преобразовании координат). Дадим два примера, которые представляют интерес в СТО и в гиперболической геометрии, а именно: