Дискретно-непрерывная математика (стр. 4 )

11. 4. Преобразование координат

Рассмотрим в п-мерном векторном пространстве два базиса: («старый» базис) и («новый» базис).

Взаимное расположение векторов базиса определится, если задать коор­динаты векторов одного базиса относительно другого.

Мы положим:

(18)

или в сокращенной записи:

(18')

Установим связь между координатами одного и того же вектора в раз­личных базисах.

Пусть

— координаты вектора х соответственно в «старом» и «новом» оазисах:

(19)

Подставим в (19) вместо векторов их выражения из (18). Получим:

Сопоставляя это равенство с (19) и учитывая, что координаты вектора однозначно определяются заданием вектора и базиса, находим:

(20)

или в подробной записи:

(21)

Формулы (21) определяют преобразование координат вектора при пере­ходе от одного базиса к другому. Они выражают «старые» координаты через «новые». Матрица

(22)

называется матрицей преобразования координат или преобразующей матрицей. В ней k-й столбец состоит из «старых» координат k-го «нового» базисного век­тора. В этом можно убедиться из формулы (18) или непосредственно из формул (21), положив в последних при i ≠ k.

Заметим, что матрица Т неособенная, т. е.

(23)

Действительно, положив в (21) получим систему п линейных однородных уравнений с п неизвестными х1, х2, …, хп и с опреде­лителем | Т |. Эта система может иметь только нулевое решение так как в противном случае из (19) следовала бы линейная зависи­мость между векторамиПоэтому

Неравенство (23) вытекает и из теоремы 1 п.11.1, поскольку элементами матрицы Т являются «старые» координаты линейно независимых векторов

Введем в рассмотрение столоцевые матрицы

Тогда формулы преобразования координат (21) могут быть записаны в виде следующего матричного равенства:

(24)

Помножая снова обе части этого равенства на Т-1 найдем выражение для обратного преобразования

(25)

11.5. Эквивалентные матрицы. Ранг оператора. Неравенства Сильвестра

1. Пусть даны два векторных пространства R и S, соответственно п и m измерений над числовым полем К, и линейный оператор А, отображающий R в S. В настоящем параграфе мы выясним, как меняется матрица А, соответ­ствующая данному линейному оператору А, при изменении базисов в R и S.

Выберем в R и S произвольные базисы В этих базисах оператору А будет соответствовать матрица Векторному равенству

у = Ах (26)

соответствует матричное равенство

у = Ах, (27)

где х и у — координатные столбцы для векторов х и у в базисах

Выберем теперь в R и S другие базисы В новых базисах вместо х, у, А будем иметь:При этом

(28)

Обозначим через Q и N неособенные квадратные матрицы соответственно порядков п и т, осуществляющие преобразование координат в пространствах R и S при переходе от старых базисов к новым (см. п.11.4):

(29)

Тогда из (27) и (29) получаем:

(30)

Полагая Р = N-1 мы из (28) и (30) находим:

(31)

Определение 8. Две прямоугольные матрицы А и В одинаковых размеров называются эквивалентными, если существуют две неособенные квад­ратные матрицы Р и Q такие, что

B = PAQ. (32)

Если матрицы А и В имеют размеры т×п, то в (32) квадратная матрица Р имеет порядок т, а квадратная матрица Q — порядок п. Если элементы эквивалентных матриц А и В принадлежат некоторому числовому полю, то матрицы Р и Q могут быть выбраны так, чтобы их элементы принадлежали тому же числовому полю.

Из (31) следует, что две матрицы, соответствующие одному и тому же линейному оператору А при различном выборе базисов в R и S, всегда экви­валентны между собой. Нетрудно видеть, что и обратно, если матрица А отве­чает оператору А при некоторых базисах в R и S, а матрица В эквивалентна матрице А, то она отвечает тому же линейному оператору при некоторых дру­гих базисах в R и S.

Таким образом, каждому линейному оператору, отображающему R в S, соответствует класс эквивалентных между собой матриц с элементами из поля К.

2. Следующая теорема устанавливает критерий эквивалентности двух матриц:

Теорема 2. Для того чтобы две прямоугольные матрицы одинаковых размеров были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы эти матрицы имели один и тот же ранг.

Доказательство. Условие необходимо. При умножении прямоугольной матрицы на какую-либо неособенную квадратную матрицу (слева или справа) ранг исходной прямоугольной матрицы не может изме­ниться. Поэтому из (32) следует

Условие достаточно. Пусть А — прямоугольная матрица раз­мера т×п. Она определяет линейный оператор А, отображающий простран­ство R с базисом в пространство S с базисом Обозначим через r число линейно независимых векторов среди векторов Не нарушая общности, можем считать, что линейно независимыми являются векторы (этого можно достигнуть надлежащей нумерацией базисных векторов ), а остальные, выражаются линейно через них:

(33)

Определим новый базис в R следующим образом:

(34)

Тогда в силу (33)

(35)

Далее положим:

(36)

Векторылинейно независимы. Дополним их некоторыми векторами до базиса