Дискретно-непрерывная математика (стр. 54 )

Полагая ε = 0, получаем коэффициент при εn-t-1, или элемент (pq)

матрицы К1(В, t) как сумму всевозможных слагаемых

Здесь индексы одного и того же элемента bpq в диагональном миноре порядка (t + 1) и в гиподиагональном миноре порядка t связаны между собой соотношением: Матричные коэффициенты 2-го рода легко выразить, используя (26). Вывод структуры коэффициентов закончен.

Итак, в сравнении со скалярными коэффициентами матричные коэффициенты в своей структуре дополнительно содержат гипо-диагональные миноры и также не содержат прочих миноров (последние для исходной матрицы В существуют при ранге r< n — 1). Это обстоятельство и определяет местоположение 2-го рока относительно r' и r. А именно 2-й рок не может быть меньше 1-го рока в силу (28). Но он может быть больше его, в том числе на несколько единиц вплоть до величины ранга, для чего достаточно, чтобы имелся один ненулевой гиподиагональный минор порядка r" > r'. Из структуры же видно, что 2-й рок не может быть больше ранга. Но он может быть меньше его (при условии r' < r), в том числе на несколько единиц вплоть до 1-го рока, для чего достаточно, чтобы имелся один ненулевой прочий минор порядка r > r".

Следовательно, из структуры скалярных и матричных характерис­тических коэффициентов следует фундаментальное неравенство, связывающее основные параметры сингулярности матрицы:

(31)

Случай r' = 0 соответствует нильпотентной матрице. В свою очередь, случай r" = 0 соответствует нулевой матрице. Если же она ненулевая, то так как К2(В,1)=В. Поэтому также r = 1 ↔ r" = 1. Последний особый случай: так как К1(В, n-1)=ВV - присоединённая матрица, в которой фигурируют все миноры ранга (n - 1). Найденная структура подтверждает (29), а также (28) и через (27) рекуррентную формулу Варинга - Леверье (2). Заметим, что именно порядок r" является границей для обрыва алгоритма Сурьё - Фаддеева. Второй рок (наряду с другими парамет­рами сингулярности) для исходной В и для любой её собственной Bi является инвариантом линейного преобразования и неотъемлемой характеристикой сингулярной матрицы.

12.5.Минимальный аннулирующий многочлен от матрицы

Одним из приложений полученных выше результагов является установление точной формулы для минимального аннулирующего многочлена. Пусть - собственные значения некоторой сингулярной матрицы суть их алгебраические кратности (индекс 1 у параметров сингулярной матрицы В в дальнейшем опускается, чтобы отметить факт её сингулярности). Например, это может быть любая собственная матрица Ві. Согласно (27) и теореме Гамильтона - Кэли с учётом разложения на простые множители, имеем:

(32)

По сути это есть нулевой характеристический многочлен от матрицы В. С другой стороны, все характеристические коэффициенты порядка r' всегда ненулевые. Поэтому далее имеем:

(33)

Из рекуррентной формулы Сурьё (25) в интервале следует

справедливость соотношений:

(34)

(нильпотентные матричные коэффициенты).

Далее при превышении критического порядка на 1 имеем.

(35)

где si0 — кратность собственного значения μi в минимальном

аннулирующем многочлене, или его аннулирующая кратность. Но

Следовательно,

(36)

Формулы (36) дают точные значения аннулирующих кратностей, то есть показателей степеней собственных матриц Bi=B-μiI в минимальном аннулирующем многочлене от матрицы В. Эти кратности подчиняются классическому неравенству 1≤s0i ≤si′, так как и имеет место (32). Подставляя в него значения из (36), получаем слабое неравенство Следовательно, указанное классическое неравенство для сингулярной матрицы можно усилить сверху, а именно:

(37)

Теперь видно, что если, наоборот, выразить неизвестный 2-й рок через известную аннулирующую кратность по (36), то тогда не получилось бы ограничения r"≤ r. Поэтому 1-й и 2-й рок являются первичными понятиями для сингулярной матрицы, а аннулирующая кратность - вторичное понятие. Равенства сверху в (37) имеют место сначала при ri"= ri и затем при Далее рассмотрим, при каких

условиях имеет место равенство в (37) снизу, или ri'= ri". Для этого воспользуемся классическим неравенством Сильвестра

Для произведения нескольких матриц или для степени матрицы лучше перейти к сингулярностям вместо рангов. Тогда ограничение выражается лаконично с характеристиками, независящими от n:

(38)

(39)

где h — целое положительное число.

Благодаря применению сингупярностей вместо рангов непосред­ственно видно, что в правой нижней части (38) или (39) знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда

В частности, для попарно коммутативных матриц это тождественно условию

Тогда из (38) имеем'

С другой стороны, , или так как алгебраичес-

кая кратность и 1 - й рок для степеней матрицы не изменяются. С учётом того, чтоотсюда следует

(40)

Тогда из (39) и (40) следуют частные неравенства

(41)

Набор значений сингулярностей или рангов степеней матрицы в (40), как известно, однозначно определяет набор жордановых субклеток в ультраинвариантной клетке размераа критический показатель степени матрицы определяет размер максимальной жордановой субклетки Если или ri' = ri'', то из (41)

вытекаетИ наоборот

Следовательно,

(42)

Заметим, что известное классическое утверждение, получаемое из жордановой формы:

непосредственно следует из (42), но не детализировано, как здесь, по каждому собственному подпространству. Другой крайний случай, согласно (41), имеет вид:

(43)

12.6. Нуль-простые и нуль-дефектные сингулярные матрицы

Матрица, соответствующая r' = r. определяется здесь как нуль-простая и далее иногда обозначается как Вр. То есть она обладает свойствами простой матрицы на собственном подпространстве соответствующем её нулевому собственному значению.

Некоторая квадратная матрица является нуль-простой тогда и только тогда, когда справедливо любое из утверждений:

1) 1-й рок равен 2-му року,

2) 1 -й рок равен рангу,

3) ранг квадрата матрицы равен рангу матрицы,

4) пересечение ядра и образа матрицы есть нулевой элемент,

5) ядро и образ матрицы образуют прямую сумму.

Последнее свойство обусловливает существование для нуль-простой матрицы характеристических аффинных проекторов.

Матрица, для которой r' < r, определяется здесь как нуль-дефектная. Согласно (35), для неё существует характеристическая нильпотентная матрица

(44)

В свою очередь, нильпотентная матрица из (23) является суммой всех собственных матриц О, гдеДля нильпотентной матрицы