Дискретно-непрерывная математика (стр. 82 )

(494)

(Последнее объясняет дополнительное обозначение для угла

Обратим также внимание на то, что многоступенчатые орто-сферические ротации, в соответствии с их структурой (473), имеют конечным резyльтатом опять-таки ортосферическую ротацию.

Многоступенчатые гиперболические ротации точечного элемента последовательно производят реперные точки (вершины) каких-либо геометрических фигур, например гиперболических многоугольников Для реализации последних необходимое условие — замкнутость цикла гиперболических ротаций

В силу непрерывности частных ротаций такие централизованные фигуры расположены в одной из полостей изотропного конуса - там, где находится элемент u1, причем. Фигуры и их

геометрия реализуются на какой-либо гиперболоидной поверхности с заданным инвариантом ρ. Непрерывные преобразования Лоренца включают в себя тригонометрические ротации <Т> и параллельные переносы. Они осуществляют любые непрерывные движения в псевдоевклидовой геометрии.

С другой стороны, однородные преобразования Лоренца <Т>, используемые активно, осуществляют движения производящего точечного элемента (u = T∙u1) на той же гиперболоидной (псевдо­сферической) поверхности

(495)

где ρ2(u1) — квадратичный метрический инвариант. Эта централизован­ная гиперповерхность находится либо во внешней полости конуса (ρ 2 > 0), либо во внутренней полости конуса (ρ 2 < 0), либо она есть конус (ρ = 0). Она же как многообразие есть функция от метрического инварианта. Метрика псевдосферической гиперповерхности — внешняя, псевдоевклидова. Ее родственные подмножества - псевдосферические m-поверхности меньшей размерности и псевдоокружности (m = 1) С точки зрения аффинной геометрии они же суть гиперболоидные поверхности и гиперболы. Каждую из них можно представить как гиперповерхность в некотором своём подпространстве где . В частности, любая гипербола на гиперповерхности (495) принадлежит некоторой своей псевдоплоскости

Микромодуль 42.

Тригонометрия псевдоевклидова пространства Минковского

13.35. Проективные тригонометрические модели сопутствующих гиперболических геометрий

В <Рn+1> реализуется псевдоевклидова геометрия Минковского. Две псевдосферические гиперповерхности в нём ( n > 2, q = 1), отличающиеся знаком квадратичного инварианта (+ или —), в аффинном смысле, суть пара сопутствующих гиперболоидов. Геометрическим путём они производятся сферической ротацией относительно направленной оси с числом степеней свободы (n — 1) соответственно одной времениподобной гиперболы (например правой) и двух пространствуподобнытх гипербол (верхней и нижней) — см. рис. 3. Первый из них (топологически односвязный, с инвариантом ρ2 = + R2) находится во внешней полости конуса. Второй из них (топологически двухсвязный, с инвариантом ρ2 = — R ) находится по отдельности в двух внутренних полостях конуса - верхней и нижней. В метрическом смысле эти объекты представляют собой две гиперпсевдосферы — одна с вещественным (± R), а другая с мнимым (± iR) радиусом. (В том же смысле изотропный конус есть гиперпсевдосфера нулевого радиуса.). Они известны как гиперболоиды Минковского I и II. На этих сопутствующих гиперболоидах реализуются особые внешние гиперболические геометрии с псевдоевклидовой метрикой в <Рn+1|>. Их название обусловлено тем, что гиперболические траектории на гиперболоидах Минковского - геодезические линии (в указанной внешней метрике).

Если некая гиперболическая траектория проходит по какой-либо псевдосфере меньшей размерности (1<n'<n), принадлежащей гиперболоиду Минковского, то она и на данной поверхности остаётся геодезической. При n' = 1, то есть на собственной секущей псевдоплоскости, остаётся только гипербола, сама по себе. Здесь на псевдоплоскости в координатах (х, у) легко определяется её псевдоевклидова протяжённость, так как длина данной кривой остаётся той же.

Централизованные геодезические движения производящего элемента u1 (рис. 4) по гиперболоиду с инвариантом ρ(u1) осуществляет ротационная матрица-функция roth Г = F (γ), согласно структуре (363), (364). Нецентрализованное геодезическое движение производящего элемента u = Т∙u1 по тому же гиперболоиду осущест­вляет ротационная матрица , или где Причём γ изменяется непрерывно от 0 до + ∞ (dy > 0) или от 0 до — ∞ (dy < 0). Протяжённость геодезической траектории на обоих гиперболоидах определяется формально также, как псевдоевклидова длина гиперболической дуги в пределах псевдоплоскости. А именно, как а = R∙γ (на гиперболоиде II) и как ia = iR∙γ (на гипер­болоиде I). Выражение для данной характеристики протяжённости «а» тождественно таковому для меры Ламберта, принятой в гиперболичес­кой неевклидовой геометрии.

Для двухсвязного гиперболоида II этот факт объясняется тем, что внешняя гиперболическая геометрия на нём изоморфна в целом (а, следовательно, и в малом) внутренней гиперболической геометрии Лобачевского — Больяи при одних и тех же n и R. Причём различие геометрий на верхней и на нижней частях гиперболоида II заключается только в перемене знаков перед гиперболическими углами Г и γ (обра­щении ротационной матрицы roth Г) для зеркально симметричных движений на них относительно гиперплоскости Но при этом

всегда для этих углов при dy > 0 применяется знак «+», а при dy < 0 применяется знак «—». Углы Г и (— Г) имеют тождественный вектор направляющих косинусов еα. То же относится к двум соответствующим антиподным частям гиперболического пространства Лобачевского — Больяи. Последнее, как и гиперболоид II, по сути двухсвязное.

Изоморфизм в целом внешней геометрии на гиперболоиде II и внутренней геометрии Лобачевского — Больяи наиболее просто доказывают тем, что они обе приводятся центральными проективными преобразованиями к одной и той же форме - модели Клейна внутри овального абсолюта Кэли. Для внешней гео­метрии на гиперболоиде II модель Клейна (внутри абсолюта) есть её центральное проективное отображение (рис. 4) на проективную гиперплоскостьС тригонометрической точки зрения модель Клейна (внутри абсолюта) есть её тангенсное отображение в векторной форме или тангенсная проекция на

централизованную Для геометрии Лобачевского - Больяи модель

Клейна есть её центральное проективное отображение на указанную проективную гиперплоскость. (Заметим, что впервые эту модель

для неё предложил Бельтрами.) Все эти отображения по отношению к гиперплоскости проектирования - двухсторонние и двухсвязные.

Рис. 4. А) Тригонометрические соответствия точек гиперболоидов Минковского I и II в псевдоплоскости ротации.

В) Проективные модели Клейна гиперболоида II (тангенсная) и I (котангенсная), относительно овального абсолюта Кэли, на про­ективной гиперплоскости.

(1) гиперболоид I (2) гиперболоид II, (3) абсолют Кэли, (4) пара смежно параллельных прямых (геодезических) внутри и вне абсолюта, (5) различные варианты соответствий прямых внутри и вне абсолюта.

Общим для них является то, что мера Ламберта трансформируется в проективную меру. Кроме того, изоморфизм в целом как известно, включает одну и ту же топологию геометрических пространств с точностью до их гомеоморфизма. В рассматриваемом случае это есть топология внутренней области овального абсолюта Кэли. Поскольку последняя не включает в себя абсолют, то есть не имеет границы, то такая область проективной гиперплоскости топологически эквивалентна(То же относится к двум антиподным пространствам Лобачевского - Больяи и к обеим частям гиперболоида ІІ.) Все они по сути имеют топологию

Внутри овального абсолюта на проективной гиперплоскости действует проективная мера в тангенсной формеотождест-

вляемая с евклидовой мерой. В модели Клейна внутри абсолюта проективная мера ограничена радиусом R. При R →∞ ее гиперболоид ІІ и пространство Лобачевского - Больяи трансформируются в Если γ = a/R → 0, то есть либо а→ 0, либо R → ∞, то R∙th a/R →а; при этом в обоих вариантах меры Ламберта и Евклида совпадают.