Дискретно-непрерывная математика (стр. 73 )

13.20. Тригонометрический спектр нуль-простой матрицы

Матричные характеристические коэффициенты высшего порядка, как и проекторы, суть простые сингулярные матрицы с единственным ненулевым собственным значением. Представим высший матричный коэффициент второго рода для нуль-простой матрицы сначала в форме алгебраической ортогональной суммы по собственным тригонометрическим подпространствам, а затем в форме соответствующей ей прямой ортогональной суммы по собственным тригонометрическим клеткам, используя принцип бинарности.

(373)

где проецирует ортогонально на i-ю собствен-

ную тригонометрическую плоскость

проецирует ортогонально на подпространство размерности ν'. Причём здесь ν" = 0

ввиду того, что В — нуль-простая матрица. Собственные ортопроекторы составляют полную сумму.

гдепроецирует ортогонально на подпространство

размерности n — 2r + ν' (см. рис.2).

Общая размерность пространства, как и должно быть, составляет:

На подпространствекоэффициент

К2(В, r) формально проявляет себя как сингулярная матрица ранга 1, её размер в прямой сумме есть 2×2. На он формально проявляет себя как несингулярная матрица, её размер в прямой сумме есть ν′×ν'. На он формально проявляет себя как нулевая матрица; её размер в прямой сумме есть В прямой сумме имеем: (374)

где знак обозначает ортогональное прямое суммирование. Здесь как (r - ν'), так и (n - 2r + ν') - неотрицательные числа. Поэтому имеет место неравенство.

(375)

В частности, для нуль-нормальной матрицы формула (374) приобретает простейший вид:

В формуле (374) применены специальные обозначения матриц: матрица ранга 1; для неё, согласно (29), высший матричный коэффициент совпадает с самой матрицей, а высший скалярный коэффициент совпадает с её следом;

- матрица ранга ν'; для неё, согласно (29), высший матричный коэффициент равен а высший скалярный

коэффициент совпадает с её детерминантом;

- часть нулевого блока, неотносящаяся к Bi2×2. Общая сингулярность В, как и должно быть, составляет:

Если в формуле (374) каждое слагаемое Bi2×2 поделить на его след,

а несингулярное слагаемое поделить на его детерминант, то тогда она преобразуется в прямой тригонометрический спектр косопроектора:

(376)

При данном преобразовании применяется формула (62) для r=2 и r=n. Аналогичные тригонометрические спектры с использованием принципа бинарности выводятся для мультипликативных матриц:

(377) (378) (379)

Из (374), (376) и (378), (379) получаем прямые произведения для высших скалярных коэффициентов:

(380) (381)

13.21. Генеральное косинусное неравенство

В свою очередь, согласно (186), (194), имеем:

(382)

Подставив в первую часть соотношения все матрицы в форме прямых спектров, получаем собственные косинусные неравенства для каждой его тригонометрической клетки:

(383)

Из (380), (381) и (383) следует генеральное косинусное неравенство для квадратной матрицы в модульной форме, то есть для косинусного отношения (137), а именно:

(384)

Здесь в крайних случаях:

- для нуль-дефектной матрицы,

- для нуль-нормальной матрицы.

Используя ранее введённые характеристики матрицы — дианаль и минорант, придадим косинусному неравенству вид:

Воспользовавшись второй частью соотношения (382), получаем аналогичные косинусные неравенства, но в знаковой форме:

(385)

В случае косинусного отношения (138) имеем

(386)

или

Крайние варианты здесь соответствуют нуль-нормальным матрицам с отрицательной и положительной дианалью

).

Например, это могут быть несингулярные матрицы с отрицательным и положительным детерминантом. Нетрудно также видеть, что в вышеуказанных формулах частный угол отличается от собственного угла -также, как угол между двумя направленными векторами отличается от угла между двумя ненаправленными векторами или линиями. Соответственно есть косинусное отношение для планаров <im B>, <im B′> и для планаров <ker B>, <ker B'>, a {B}сos есть косинусное отношение для линеоров, заданных матрицами В и В'

Заметим также что для простой составляющей РВ от нуль-простой матрицы В, согласно (22) и (76), тригонометрия и спектры тождест­венны таковым для самой исходной матрицы

Кроме того, отметим, что для тензорного угла между планарами ранга 1, то есть прямыми и ранга (n - 1), то есть гиперплоскостями, возможна только одна тригонометрическая клетка, что отвечает одной собственной тригонометрической плоскости

Из вышеизложенного следует основной вывод. Тригонометрический смысл собственных углов φі, для сферических функций тензорного угла зактючается в том, что это суть скалярные углы между планарами первого ранга - <im Ві2×2> и <im В'і2×2> в прямых тригонометрических спектрах для

Аналогичный указанному тригонометрический смысл имеют собственные скалярные углы φі в клетках, когда бинарный тензорный угол задается эквиранговыми тинзорами А1 и А2 или планарами <im A1> и <im A2>. Пусть выполняется условие (224) при В = А1А2' и соответственно имеет место взаимно-однозначное соответствие (226) между ортопроекторами Тригонометрические спектры для внешних мультипликаций линеоров А имеют вид

(387)

(388) (389) (390)

(391)

(392)

Причём, согласно (132), В свою очередь, согласно (186), (196) и (226), имеем:

(393)

Отсюда же для 2×2-клеток ранга 1 устанавливаются вспомогательные соотношения: