Дискретно-непрерывная математика (стр. 106 )

(177А), (178А)

Здесь используется абстрактная аналогия типа (323), когда осу­ществляется трансформация:

Матрица основной сферической ротации rot Ф (то есть ротации с реперной осью), согласно (314), имеет каноническую структуру в отвечающую рефлектор-тензору как указано ниже:

(179 А)

С другой стороны, ортогональная матрица rot Θ в базисе своего действия, согласно (497), отвечает рефлектор-тензору по схеме (110А). В связи с вышеуказанной аналогией в исходных универсальных базисах формулы гиперболической геометрии (гл. 7А) весьма логично преобразуются в формулы сферической геометрии. Если перейти от угла движения к мере Ламберта - гиперболической и сферической

(180)

то обе геометрии (в малом) также переходят друг в друга во внутренней и внешней интерпретациях. Поэтому далее приводится, главным образом, сводка формул движений в сферической геометрии с небольшими пояснениями. Заметим, что движения в сферической геометрии и в эллиптической геометрии Римана в достаточно ограниченной области изоморфны в силу изоморфности этих геометрий в малом. Поэтому конечные результаты в скалярной форме, относящиеся только к внутренней геометрии, имеют место в обеих геометриях.

Для двухступенчатого неколлинеарного движения по гиперсфероиду в <Qn+> имеем:

(181А)

- аналог формулы (111 А);

(182А)

— аналог формулы (112А);

(183А) (184А)

— аналоги формул (114 А), (115 А), где корни тригонометрические.

В случаепри перемене порядка последовательности двух

сферических движений на противоположный новый квазидекартов базис задаёт матрица - квазианалог Т' из (116 А):

(185А)

Формально преобразование Т* выводится из Т через операцию простого транспонирования, но при этом реализуемой в бинарном комплексном базисе (443). Для обратного порядка движений имеем:

(186 А)

(187 А)

- аналоги формул (117А), (118А), где корни тригонометрические.

Здесь также сохраняется двойственность во взгляде на ротацию rot Θ. С одной стороны, она связана с возникающим сферическим сдвигом при суммировании частных неколлинеарных движений неточечных объектов. С другой стороны, согласно (112А), она же преобразует модально основную суммарную ротацию rot Ф при перемене порядка последовательности двух частных движений на противоположный. Связь между двумя вариантами двухступенчатого сферического движения (прямым и обратным) сводится к замене частных углов по схеме:

(188 А)

— аналог (121 А).

Перемножая элементы матриц в (183А) или применяя аналогию абстрактного типа, получаем формулы двухступенчатого движения в <Qn+1>. Например, в косинусной интерпретации имеем:

(189 А)

Отсюда непосредственно видна независимость суммарного скаляр­ного угла движения от порядка последовательности двух частных движений. Это классическая скалярная формула сферической геометрии и эллиптической геометрии Римана. При движении по гиперсфероиду с возрастанием значений направленной ординатывсе φ > 0. В связи с этим обстоятельством для положительных углов движения φ (и расстояний по метрике Ламберта) с учётом (189А) следует правило "параллелограмма", как в евклидовой геометрии:

(190А)

- аналог (123А). Неравенства (190А) и φ > 0 относят расстояние в сферической геометрии в категорию норм. Заметим, что в тангенсной модели, или в проективной модели Клейна гиперсфероид в целом отображается на всю двухстороннюю (замкнутую) проективную гиперплоскость , то есть он гомеоморфен ей.

Соответствующие формулы для скалярных синуса и тангенса - аналоги (124А) и (125А) даются с учётом теоремы о приведении к биортогональной (квадратичной) некоммутативной форме (гл. 7А):

(191А) (192 А)

Для условно ортогональных частных движений из (189А) следует мультипликативная косинусная формула, трактующая скалярно их суммирование как интегральный аналог теоремы Пифагора:

(193А)

При движении по n-мерному гиперсфероиду количество последова­тельных независимых, условно ортогональных отрезков (углов) не может превышать число «n». Применяя также последовательно (193А), получаем общую мультипликативную косинусную формулу

Суммирование условно ортогональных движений в <Qn+1> в скаляр­ном варианте коммутативно. Например, протяжённость суммы таких движений вычисляется в виде

Кроме того, многозвенные косинусные формулы для условно ортого­нальных движений в обеих геометриях представляются в аддитивной форме через логарифмические меры:

Общие мультипликативные и аддитивные соотношения для скаляр­ной суммы условно ортогональных движений являются интегральными аналогами теоремы Пифагора в неевклидовой геометрии.

Как и ранее, особый случай соответствует ортогональной (теперь не условно!) сумме бесконечно малых частных углов движения:

Здесь имеет место коммутативность частных углов движения в скалярной и векторной формах. Например, первый дифференциал общего угла движения представляется в двух вариантах - аналогах (144А) и (145А):

(194 А) (195А)

Ввиду того, что при непрерывных движениях в <Рn+1> или в <Q n+1>, отображамых непосредственно траекториями на собственных гипер­поверхностях, характеристический радиус постоянен (R = const), то аналогичная инфинитиземальная теорема Пифагора имеет место для соответствующих дифференциалов длин ортогональных приращений отрезков, выраженных мерой Ламберта. В первом варианте имеем:

(196А)

Например, это может быть первая каноническая квадратичная форма римановой поверхности постоянной кривизны, выраженная в текущих ортогональных криволинейных координатах Гаусса. Во втором варианте имеем:

(197А)

Например, это может быть разложение первого дифференциала

на тангенциальную и нормальную ортопроекции в соприкасающейся псевдо/квазиплоскости к криволинейному участку линии движения в окрестности точки М с мгновенным радиусом псевдо/квазикривизны R(m).

С другой стороны, во внешней тригонометрии гиперсфероида в <Q n+1> имеют место векторные формулы для синуса и тангенса суммы двух движений:

(198А)

- аналоги формул (135А) и (138А) с той же геометрической интерпре­тацией, но в сферическом варианте.

Далее рассмотрим внешнюю векторную тригонометрию единичного гиперсфероида (R = 1).

* * *

Имеем:

(200А)

- n×1 единичный радиус-вектор точки гиперсфероида. Метрический инвариант выражается в виде:

(201 А)

Остальные тригонометрические функции получаются делением базового элемента е либо на cos φ, либо на sin φ. Далее,

радиус-вектор секанса, конец которого лежит на тангенсной евклидовой гиперплоскости;

радиус-вектор косеканса, конец кото­рого лежит на котангенсной цилиндрической евклидовой гиперповерх­ности.

Сферическое преобразование (движение) какого-либо точечного элементаединичного гиперсфероида в активной форме в