Дискретно-непрерывная математика (стр. 32 )

(327)

где — вещественные линейные формы от

В соответствии с этим мы можем в (326) считать векторы комплексно сопряженными, a zl — вещественными:

(328)

Тогда, как легко видеть, вещественные векторы

(329)

образуют ортонормированный базис в R, В этом каноническом базисе имеем:

(330)

(Равенства (330) следуют из равенств (326), (327) и (328)).

Поскольку все операторы данного множества получаются из Р при част­ных значенияхто базис (329), не зависящий от этих параметров, является общим каноническим базисом для всех данных операторов.

Нами доказана

Теорема 12. Если дано любое множество коммутирующих нормаль­ных линейных операторов в евклидовом пространстве R, то все эти операторы имеют общий ортонормированный канонический базис

(331)

Приведем матричную формулировку теоремы 12:

Теорема 12'. Любое множество коммутирующих вещественных нор­мальных матриц А, В, С, ... при помощи одного и того же вещественного ор­тогонального преобразования О может быть приведено к каноническому виду

(332)

Примечание. Если какой-либо из операторов А, В, С, ... (какая-либо из матриц А, В, С, ...), например А (А), является симметрическим (сим­метрической), то в соответствующих формулах (331) [соответственно (в 332)] все v равны нулю. В случае косой симметрии все [х равны нулю. В случае, если А— ортогональный оператор (А — ортогональная матрица), то

11.31. Псевдообратный оператор

Пусть дан произвольный линейный оператор А, отображающий n-мерное унитарное пространство R в m-мерное унитарное пространство S. Обозначим через r ранг оператора А, т. е. число измерений подпространства АR. Рассмотрим два ортогональ­ных расщепления пространств R и S:

(333)

(334)

Здесь подпространство R2=Na состоит из всех векторов х R, удовлетворяющих уравнению Ах=0. Поэтому число измерений подпространства R2 равно d= п—r. Следо­вательно, число измерений ортогонального дополнения R1 равно r.

С другой стороны, Поскольку подпространства R1 и S1 имеют одно и то же число измерений r, то линейный оператор А устанавливает взаимно однозначное соответствие между векторами подпространств R1 и S1. Поэтому однозначно определяется обратный оператор А-1, отображающий S1 в R1.

Псевдообратным оператором А+ для оператора А назовем линейный оператор, отобра­жающий S в R и определяемый равенствами

(335)

Псевдообратный оператор А+ однозначно определяется заданием линейного оператора A, отображающего пространство R в S, и заданием метрики в пространствах R и S. При изме­нении метрики в пространствах R и S изменяется и псевдообратный оператор А+. (В этом отличие от обратного оператора А-1, определение которого не связано с метри­кой. Но зато псевдообратный оператор А+ определяется в общем случае при любых т, п, r, а обратный оператор А-1 может быть определен лишь в частном случае, когда линейный оператор А устанавливает взаимно однозначное соответствие между векторами пространств К и S, т. е. когда т=п= r. В этом частном случае оператор А+ не зависит от метрики про­странств К и S и совпадает с обратным оператором А-1).

Роль псевдообратного оператора выясняется из следующей геометрической интер­претации.

Уравнение

(336)

при заданном у S либо не имеет решений в R (если у не принадлежит подпространству S=АR), либо имеет решения (если В последнем случае все решения уравнения (336) получаются из одного решения x0 прибавлением произвольного вектора x2 R2=NA.

Докажем, что вектор

(337)

представляет собой наилучшее приближенное решение уравнения (336), т. е.

(338)

и из всех векторов х R, для которых этот минимум реализуется, вектор х° имеет наимень­шую длину | х°|.

Действительно, пусть

Тогда y1=Ax0 представляет собой ортогональную проекцию вектора у на подпространство S=АR, со­стоящее из всех векторов вида Ах, где х R. Поэтому имеет место равенство (338). С другой стороны пусть x' R — какой-либо другой вектор (х' ≠ x0), для которого реализуется мини­мум (338). Тогда

(339)

и, следовательно,

(340)

т. е. Поэтому, поскольку

то по теореме Пифагора из равенства находим:

(341)

Таким образом, существует только одно наилучшее приближенное решение уравнения (336) и это решение определяется формулой (337).

Выберем в пространствах R и S ортонормированные базисы. В этих базисах квадрат длины векторов х R и y S определяется формулами

(342)

и векторные равенства

переходят в матричные

(343)

Поскольку х0 при любом у представляет собой наилучшее приближенное решение [в смысле метрики (342)] системы линейных уравнений, то А+ — псевдообратная матрица для прямо­угольной матрицы А. Таким образом, если в пространствах R и S выбраны ортонормированные базисы, то операторам А и А+ в этих базисах соответствуют взаимно псевдообратные матрицы А и А+.

Микромодуль 29

Сингулярные пучки матриц

1. Рассмотрим следующую задачу:

Даны четыре матрицы А, В; А1, В1 одинаковых размеров т × п с элемен­тами из числового поля К. Требуется найти, при каких условиях существуют две квадратные неособенные матрицы Р и Q соответственно порядков тип такие, что одновременно

. (344)

( Если такие матрицы Р и Q существуют, то их элементы могут быть выбраны из поля К. Это вытекает из того, что равенства (344) могут быть переписаны в виде и потому равносильны некоторой системе линейных однородных уравнений с коэф­фициентами из поля К относительно элементов матриц Р и Q-1.