Дискретно-непрерывная математика (стр. 21 )

Неравенство (205) имеет следующий геометрический смысл:

Объем параллелепипеда не превосходит произведения объемов двух допол­нительных «гранейь и равен этому произведению в том и только в том случае, когда эти «грани» взаимно ортогональны либо хотя бы одна из них имеет нуле­вой объем.

Справедливость неравенства (206) установим индуктивно относительно числа векторов Неравенство справедливо, когда это число равно1 [см. формулу (203)].

Введем в рассмотрение два подпространства S и S1 соответственно с бази­сами Очевидно, Рассмотрим ортого­нальные разложения

Отсюда

Заменяя квадрат объема параллелепипеда произведением квадрата объема основания на квадрат высоты [см. формулу (197)], найдем:

(207)

(208)

При этом из разложения вектора следует:

(209)

причем здесь знак = имеет место, лишь когда

Используя теперь соотношения (207), (208), (209) и предположение индукции, получим:

(210)

Мы получили неравенство (206). Переходя к выяснению, когда в этом не­равенстве имеет место знак =, примем, что Тогда согласно (208) также

Так как в соотношениях (210) всюду имеет место знак равенства, то и, кроме того, по предположению индукции, каждый из векторов ортогонален к каждому из векторов Этим свойством обладает, очевидно, и вектор

Таким образом, обобщенное неравенство Адамара установлено полностью.

4. Обобщенному неравенству Адамара (206) можно придать и аналитиче­скую форму.

Пусть

— произвольная положительно определенная эрмитова форма. Рассматривая как координаты вектора х в п-мерном про-

странстве R при базисе примем формуза основную метрическую форму в R. Тогда R станет унитарным простран­ством. Применим обобщенное неравенство Адамара к базисным векторам

Полагаяи замечая, что мы последнее неравенство сможем записать так:

(211)

при этом знак равенства имеет место в том и только в том случае, когда

Неравенство (211) имеет место для матрицы коэффициентов произвольной положительно определенной эрмитовой формы. В частности, неравенство (211) имеет место, если Н — вещественная матрица коэффициентов. положительно определенной квадратичной формы

5. Обратим внимание на неравенство Буняковского.

Для произвольных векторов

(212)

причем знак равенства имеет место лишь тогда, когда векторы х и у отлича­ются скалярным множителем.

Справедливость неравенства Буняковского сразу вытекает из установлен­ного уже неравенства

По аналогии со скалярным произведением векторов в трехмерном евкли­довом пространстве в п-мерном унитарном пространстве можно ввести «угол» 0 между векторами х и у, определив его из соотношения

(В случае евклидова пространства угол θ между векторами х и у определяется из фор­мулы

)

Из неравенства Буняковского следует, что θ имеет вещественное значение.

11.21. Ортогонализация ряда векторов

1. Наименьшее подпространство, содержащее векторы х1, х2, …,хр будем обозначать через Это подпространство состоит из всевозможных линейных комбинаций векторов х1, х2, …,хр (с1, с2, ..., ср — комплексные числа) (в случае евклидова пространства эти числа вещественны). Если векторы х1, х2, …, хр линейно не­зависимы, то они образуют базис подпространства В этом слу­чае это подпространство имеет р измерений.

Два ряда векторов

содержащих одинаковое конечное или оба бесконечное число векторов, назовем эквивалентными, если для всех возможных р

Ряд векторов

назовем невырожденным, если при любом возможном р векторы х1, х2, …,хр линейно независимы.

Ряд векторов называется ортогональным, если любые два вектора этого ряда взаимно ортогональны.

Под ортогонализацией ряда векторов будем понимать замену этого ряда эквивалентным ортогональным рядом.

Теорема 2. Всякий невырожденный ряд векторов можно проортогонализироватъ. Процесс ортогонализации приводит к векторам, определенным однозначно с точностью до скалярных множителей.

Доказательство. 1. Докажем сначала вторую часть этой теоремы. Пусть два ортогональных ряда эквивалентны одному и тому же невырожденному ряду Тогда ряды Y и Z эквивалентны между собой. Поэтому при любом р существуют числа такие, что

Умножая последовательно обе части этого равенства скалярно на и учитывая ортогональность ряда Y и соотношения

получим: и, следовательно,

2. Конкретное осуществление процесса ортогонализации произвольного невырожденного ряда векторов дается следующим построением.

Пусть Спроектируем ортогонально вектор хр на подпространство :

(При р = 1 мы полагаем: ).

Положим