Дискретно-непрерывная математика (стр. 31 )

Матричное равенство (309) влечет операторное равенство (306).

Для представления ортогонального оператора второго рода ввдем в рас­смотрение специальный оператор W, определив его в некотором ортонормированном базисеравенствами

(310)

W — ортогональный оператор второго рода. Если О — произвольный ортогональный оператор второго рода, то суть операторы первого рода и потому представимы в виде eK и eK1, где К и К1 — кососимметрические операторы. Отсюда получим формулы для ортогонального оператора второго рода

(311)

Базис в формулах (310) можно выбрать так, чтобы он совпадал с базисом в формулах (290) и (292). Определенный таким образом оператор W будет перестановочен с К; поэтому две формулы (311) сольются в одну:

(312)

Остановимся еще на формулах Кэли, устанавливающих связь между орто­гональными и кососимметрическими операторами в евклидовом пространстве. Формула

(313)

как легко проверить, переводит кососимметрический оператор К в ортогональ­ный О. Из (313) можно выразить К через О:

(314)

Формулы (313) и (314) устанавливают взаимно однозначное соответствие между кососимметрическими операторами и теми ортогональными операто­рами, которые не имеют характеристического числа — 1. Вместо (313) и (314) можно взять формулы

(315)

(316)

В этом случае роль особой точки будет играть число +1.

3. Полярное разложение вещественной матрицы в соответствии с теоре­мой 9 позволяет получить основные формулы (297), (299), (301), (303), не при­бегая к включению евклидова пространства в унитарное так, как это было сделано ранее. Второй вывод основных формул опирается на следующую тео­рему:

Теорема 10. Если две вещественные нормальные матрицы пободны:

(317)

то эти матрицы вещественно - и ортогонально-подобны:

(318)

Доказательство. Поскольку нормальные матрицы А и В имеют одни и те же характеристические числа, то (см. 2° п.11.25) существует такой многочлен g (λ), что

Поэтому вытекающее из (317) равенство

может быть записано так:

(319)

Переходя в этом равенстве к транспонированным матрицам, получим:

(320)

Сопоставление (317) с (320) дает:

(321)

Воспользуемся теперь полярным разложением матрицы Т:

(322)

где — многочлен] — симметрическая, а О — вещественная ортогональная матрица. Поскольку согласно (321) матрица А переста­новочна с ТТ', то она же перестановочна с матрицейПоэтому подставляя в (317) выражение для Т из (322), будем иметь:

Теорема доказана.

Рассмотрим вещественную каноническую матрицу

(323)

Матрица (323) нормальна и имеет характеристические числа Так как нормальные матрицы имеют простую структуру, то любая нормальная матрица, имеющая те же характеристические числа, подобна (а в силу теоремы 10 вещественно - и ортогонально-подобна) матрице (323). Таким образом, приходим к формуле (297).

Совершенно так же получаются формулы (299), (301), (303).

11.30. Коммутирующие нормальные операторы

В п.11.25 мы доказали, что два коммутирующих оператора А и В в п-мерном пространстве R всегда имеют общий собственный вектор. Методом индукции можно показать, что это положение справедливо не только для двух, но для любого конечного числа коммутирующих операторов. Действительно, если даны т попарно коммутирующих операторов А1, А2, ..., Ат, среди которых первые т — 1 имеют общий собственный вектор х, то, повторяя дословно рас­суждения леммы 1 п.11.25 [в качестве А берем любое а в качестве В — оператор Ат], мы получаем вектор у, который является общим собственным вектором операторов А1, А2, ..., Ат.

Доказанное положение справедливо и для бесконечного множества ком­мутирующих операторов, поскольку такое множество может содержать только конечное число (≤п2) линейно независимых операторов, а общий собственный вектор последних будет общим собственным вектором всех операторов из дан­ного множества.

Пусть теперь дано произвольное конечное или бесконечное множество попарно коммутирующих нормальных операторов А, В, С, ... Все они имеют общий собственный вектор х1. Обозначим (п — 1)-мерное подпростран­ство, состоящее из всех векторов из R, ортогональных к х1,через Т1. Согласно п.11.25, 3° подпространство Т1 инвариантно относительно операторов А, В, С, ... Поэтому все эти операторы имеют общий собственный вектор х2 в Т1. Рассматривая ортогональное дополнение Т2 к плоскостивыделим в нем вектор х3 и т. д. Таким образом, мы получим ортогональную систему общих собственных векторов для операторов А, В, С, ... Эти векторы можно пронормировать. Нами доказана

Теорема 11. Если дано конечное или бесконечное множество попарно коммутирующих нормальных операторов А, В, С, …. в унитарном простран­стве R, то все эти операторы имеют полную ортонормированную систему общих собственных векторов

(324)

В матричной формулировке эта теорема гласит:

Теорема 11'. Если дано конечное или бесконечное множество попарно коммутирующих нормальных матриц, то все эти матрицы одним и тем же унитарным преобразованием могут быть приведены к диагональному виду, т. е. существует такая унитарная матрица U, что

(325)

Пусть теперь даны коммутирующие нормальные операторы в евклидовом пространстве R. Обозначим через А, В, С, ... линейно независимые среди них (их конечное число). Включим (с сохранением метрики) R в унитарное про­странство R, как это было сделано в п.11 28. Тогда согласно теореме 11 операторы А, В, С, ... будут иметь в R полную общую ортонормированную систему соб­ственных векторов т. е. будут выполняться равенства (324).

Рассмотрим произвольную линейную комбинацию операторов А, В, С, ...:

При любых вещественных значенияхоператор Р является вещественным нормальным оператором в и

(326)

Характеристические числа оператора Р являются линейными формами относительно В силу вещественности оператора Р эти формы можно разбить на попарно комплексно сопряженные и веществен­ные; при надлежащей нумерации собственных векторов будем иметь: