Дискретно-непрерывная математика (стр. 84 )

Идея о возможности реализации полноценной геометрии, в которой не выполняется V-ый постулат Евклида, или справедлива гипотеза острого угла Саккери, на особой поверхности - "какой-нибудь мнимой сфере" (цитата), как известно, впервые была высказана Ламбертом в 1766 г. Впоследствии было уточнено, что первое её свойство относится к геометрии в большом, а второе - к геометрии в малом. (В полноценной геометрии - с полной свободой движения фигур они взаимосвязаны.) Тауринус предложил аналитическую модель такой геометрии на гипотетической сфере мнимого радиуса по аналогии с геометрией вещественной сферы. Тем самым он обосновал непротиво­речивость её планиметрии. Интуитивная геометрия Ламберта-Тауринуса предвосхитила реальную геометрию на гиперболоиде II и исторически предшествующий ей вещественный изоморфизм - геометрию Лобачевского - Больяи. Бельтрами показал её реализуемость, но как геометрии в малом, на особой гиперповерхности евклидова пространства - псевосфере (которую ранее открыл и изучил Миндинг). Проективная модель Бельтрами - Клейна свела проблему её непротиворечивости в целом к таковой для евклидовой геометрии. Гильберт доказал невозможность реализации в трёхмерном евклидовом пространстве двумерной геометрии Лобачевского — Больяи в целом на какой-то вложенной в него неособой римановой поверхности, то есть как внутренней геометрии Гаусса.

Однако последнее вовсе не означает невозможность её реализации в целом на какой-то неособой римановой поверхности, вложенной в (3+k)-мерное евклидово надпространство. Как известно, такая поверхность определяется постоянной и отрицательной римановой кривизной. Но если бы удалось описать её как вложение в евклидово надпространство минимальной размерности, то тогда решение задачи Бельтрами было бы доведено до логического конца. Конкретные результаты в этом направлении получили последовательно Блануша –для Розендорн – для и Сабитов – для . (Та же

проблема остаётся и для вложения неевклидовых пространств в целом.)

Хорошо известно, что определение римановой поверхности и её геометрии оторвано не от объемлющего евклидова надпространства, а только от его размерности. Апостериори размерность последнего может быть вполне определённой. С другой стороны, имманентная размерность римановой поверхности всегда одна и та же для любого её гомеоморфизма. Она совпадает с размерностью касательного евклидова пространства, обобщившего одномерную касательную к кривой, самой по себе. Из напрашивающейся здесь аналогии достаточно указать, что бесконечная регулярная кривая с постоянной сферической кривизной не реализуется на плоскости, но зато она реализуется в трёхмерном евклидовом пространстве в виде винтовой линии. Такого же типа кривая, но с постоянной гиперболической кривизной реализуется на псевдоплоскости в виде гиперболы. Изометричные отображения одной и той же неевклидовой геометрии на различных поверхностях: гиперболоиде II Минковского, плоскости Лобачевского — Больяи, римановой поверхности с постоянной отрицательной кривизной - отличаются весьма значительно по степени сложности и наглядности. С другой стороны, сопутствующая цилиндрическая гиперболическая геометрия реализуется как в псевдоевклидовом пространстве — на гиперболоиде I Минковского, так и в вещественном евклидовом пространстве - на гиперпсевдосфере Бельтрами как изоморфизмы. Эти гиперболические геометрии имеют один и тот же характеристический радиус и гомеоморфны по топологии своих подпространств

Рассекая проективный гиперцилиндр какой-либо централизованной псевдоплоскостью, получаем в сечении четыре смежных бесконечных прямых в 3-х гиперболических пространствах. В данном отображении они образуют замкнутую фигуру - четырёхугольник. Его четыре вер­шины лежат попарно на двух овальных абсолютах - верхнем и нижнем. Каждая из этих четырёх прямых с заданным центром проектирования однозначно задаёт три других и секущую псевдоплоскость.

Точечные элементы на гиперболоидах Минковского I и II исходно определяются внешними, псевдодекартовыми координатами например в Кроме того, они также взаимно-однозначно

исходно определяются специальными угловыми координатами, но уже на конкретном гиперболоиде Минковского. Последний в задаётся радиус-вектором (iR - гиперболоид II, R - гиперболоид I). Для элементов гиперболоида II - реперная косинусная ось на верхней части и на нижней части). Для элементов гиперболоида I - синусная ось. Внутренние угловые координаты включают в себя параметры: гиперболический угол γ с учётом знака для обеих частей гиперболоида (отмеряемый от реперной оси для гиперболоида II и от реперной гиперплоскости для гиперболоида I) и его же направляющие косинусы Ввиду того что

для задания элемента достаточно n независимых угловых координат.

Между точками одного и того же гиперболоида устанавливается парное соответствие из условия равенства их дополнительных друг к другу гиперболических угловых координат и направляющих косинусов (рис.4):

Между точками различных гиперболоидов I и II также уста­навливается парное соответствие. Оно задаётся из условия равенства их одноимённых друг к другу гиперболических угловых координат и направляющих косинусов (рис.4):

С геометрической точки зрения такое соответствие означает зеркаль­ную симметрию пары точечных элементов относительно изотропного конуса.

Отметим одно исключение: точечный элемент u1 отображается в u∞ и в v1 только при задании направляющих косинусов; обратно же:

В связи с этим каждая прямая (геодезическая) гиперболоида II взаимно-однозначно отображается через изотропный конус в прямую (геодезическую) гиперболоида I, а в модели Клейна - через овальный абсолют. В тангенсном отображении гиперболоида II и в

котангенсном отображении гиперболоида I абсолют

соответствует их периферии.

При активных однородных преобразованиях Лоренца универсаль­ного базисаисходная реперная точка СII на оси от которой в отсчитываются углы γII, перемещается по гиперболоиду II в любую другую его точку СII' (в пределах одной его части). При этом её исходная тангенсная проекция О в модели Клейна перемещается из центра абсолюта в соответствующую точку ОII' внутри абсолюта. От этой точки отсчитываются угловые расстояния (отрезки) внутри абсолюта мерой Ламберта γII в новом псевдодекартовом базисе.

Аналогичным образом, при тех же преобразованияхточка

CI с направляющими косинусамиот которой в отсчитыва-

ются углы γI, перемещается по гиперболоиду I в любую другую его точку СI' (причём При этом её исходная котангенсная

проекция OI∞ в модели Клейна перемещается из бесконечно удалённой точки (на границе в соответствующую точку OI' вне абсолюта. От этой точки отсчитываются угловые расстояния (отрезки) вне абсолюта мерой Ламберта γI в новом псевдодекартовом базисе.

Следует отметить, что тензорные углы Г и A, как и бесконечный прямой угол, - все в одном и том же гиперболически прямоугольном треугольнике согласованы тригонометрически между собой. В гиперболически прямоугольных треугольниках две стороны (катеты) гиперболически ортогональны (рис.4). Противолежащие этим катетам углы γ и λ по сути дополнительные друг к другу. То же относится к тензорным углам Г и A. С учётом формул (356), (360) имеем:

(Следствие: сумма гиперболических углов псевдоевклидова треугольника меньше двух прямых углов.) Заметим, что тождественные тензорные функции приводятся в тригонометрическом базисе к разным каноническим формам (левые к обычным, правые к особым для первого случая и наоборот - для второго случая). В псевдоевклидовом пространстве Минковского, согласно (324), (326) и (363) - (365), имеем: