Дискретно-непрерывная математика (стр. 109 )

Симметричный метрический тензор G для представления квадра­тичной формы интервала как скалярного произведения первых дифференциалов определяется совершенно независимо через первые дифференциалы линейного элемента, выраженные в контравариантных и в ковариантных координатах:

В ускоренной системе отсчёта действует искажённая псевдо­евклидова геометрия Минковского с переменным метрическим тензором в криволинейных координатах и с нулевым повсюду

тензором кривизны Римана - Кристоффеля. Роль тензорного аналога абсолютного векторного ускорения в системе выполняют символы Кристоффеля.

В процессе создания ОТО (с 1913г.) Эйнштейн пришёл к выводу, что метрика реального пространства-времени в присутствии поля тяготения в произвольно движущейся системе отсчёта задаётся тоже двухвалентным симметричным тензором при этом тяготение и

инерция как тензоры локально неразличимы между собой (принцип эквивалентности). Это содержало существенное расширение закона о тождестве инерционной и тяготеющей масс. По Эйнштейну метрический тензор пространства-времени и приведенный тензорный потенциал обобщённого G-поля суть простые аналоги. Отсюда в ОТО неизбежно вытекало искривление реального пространства-времени и его более сложный - псевдориманов характер. Это привело к её натуральной геoметртации. Гравитация стала геометрическим понятием.

Слияние в одном и том же качестве активной и пассивной гравитации означало, прежде всего, признание инерции и ускорения такими же относительными понятиями как движение и скорость. В этом проявился общий принцип относительности Эйнштейна. Свободно движущиеся системы отсчёта в ОТО стали как бы равноправны между собой. Это вылилось маргинально в широко известное и весьма по научному честное утверждение Эйнштейна о равноправии систем Коперника и Птолемея. А именно метрический тензор в них имеет локально стандартную формув силу компенсации инерции и тяготения. Поэтому все физические законы сохраняют также стандартную форму.

Но, во-первых, здесь был явный отказ от принципа Маха, опреде­лившего инерцию абсолютно - в галилевски инерциальной системе отсчёта Во-вторых, здесь нарушался принцип соответствия, так как при отсутствии активного гравитационного воздействия невозможно сделать вывод: в какой же по характеру системе отсчёта оказывается движущаяся материальная точка - галилеевски инерциальной или неинерциальной, как об этом судят в СТО по символам Кристоффеля.

Сразу же заметим, что на более простой путь обобщения теории относительности с дополнительным учётом поля тяготения и силовых полей иного рода как материальных явлений указывал Пуанкаре ещё в 1905г. Во второй половине XX века интерес к чисто полевой (негеометрической) концепции гравитации возрождается вновь. Впервые (1976 г.) эта концепция довольно обстоятельно была изложена Боулером в его известной фундаментальной учебной монографии. В ней он вовсе не стремится опровергнуть ОТО, но в предисловии осторожно замечает: "'Поскольку физика - наука экспериментальная, не исключено, что в один прекрасный день чисто геометрический подход окажется неадекватным." Боулер последовательно развивает обобщение закона тяготения Ньютона и уравнения Пуассона для гравитации с учётом тех поправок, которые вносит именно СТО. Аналогией этому для него послужило соответствующее обобщение закона Кулона и уравнения Пуассона для электростатики при построении классической релятивистской электродинамики, где источником поля является сохра­няющийся вектор электромагнитного тока. Принципиальное отличие заключается лишь в том, что применительно к гравитации источником поля принимается сохраняющийся тензор энергии-импульса (материи и поля). В итоге Боулер рассматривает тяготение как классическое поле, соответствующее специальным частицам - гравитонам со спином 2 (точнее 2 или 0). В такой полевой релятивистской теории гравитации (РТГ) базовое пространство-время Минковского сохраняет полностью координатно-описательное значение, как в СТО. Но псевдодекартовы системы координат, будучи помещёнными в гравитационное поле, деформируются с точки зрения весьма удалённого галилеевски инерциального наблюдателя. В частности, с его точки зрения в грави­тационном поле замедляется течение собственного времени.

С 80-х годов XX века появляются более решительные по изложению (а именно с полным отрицанием ОТО) публикации Логунова с рядом соавторов. Они были подытожены в фундаментальной моно­графии Логунова. В ней наряду с обстоятельным критическим анализом ОТО (с неопределённым, псевдоримановым искривлением пространства-времени) дана концептуально аналогичная указанной, но значительно более развитая по построению РТГ. Тяготение чётко отделено от инерции как совершенно иное и материальное понятие, определяемое именно в базовом пространстве-времени Минковского. Принцип эквивалентности не действует. Эта теория, вполне корректно обобщающая СТО в гравитационном поле, по сути - релятивистская небесная механика (если в терминологии строго следовать Лапласу).

Вернёмся к теории в версии Эйнштейна. Вследствие натуральной геометризации ОТО возникла её логическая неувязка с исходной СТО. Почему активное гравитационное воздействие (тяготение) в ОТО должно обязательно искривлять метрическое пространство-время, а априори эквивалентное ему пассивное гравитационное воздействие (инерция) подобного искривления в СТО не вызывает? Ввиду такого явного несоответствия между СТО и ОТО Эйнштейн принял концепцию, что инерция может эквивалентным образом локально искривлять пространство-время, как тяготение, и поэтому они на дифференциальном уровне неразличимы между собой. Отсюда следовала как бы неприменимость СТО к описанию движений в ускоренных системах отсчёта даже в отсутствие поля тяготения, что весьма странно!? Такая концепция, кстати, в полной мере отвечала позитивистской философии Маха и его склонности к римановой гео­метрии Вселенной. Поэтому, согласно Эйнштейну, СТО действует в ОТО только на инфинитиземальном уровне, а <Р3+l> с преобразовани­ями Лоренца в нём всегда мгновенное и касательное в каждой мировой точке искривлённого пространства-времени (подобно касательной к кривой, самой по себе). Следовательно, система Маха каждый раз какая-то новая, не привязанная к чему-либо материальному, то есть надобность в ней в ОТО попросту отпадает.

В связи с той же антитезой отметим, что при дальнейшем развитии ОТО на основе принципа эквивалентности и натуральной геометри­зации прежде всего Гильбертом в 1915-1917 гг. в результате анализа им же впервые полученных общерелятивистских уравнений движения было установлено противоречие новой теории фундамен­тальным интегральным законам сохранения энергии-импульса и момента количества движения в замкнутой материальной системе. Эти законы сохранения в ОТО действуют только локально в касательном <Р3+1>. Гильберт отметил это как "'характерную черту ОТО" (цитата). По существу такое отклонение с математической точки зрения вызвано отсутствием в ОТО десятипараметрической группы движений, свойственной плоскому пространству-времени Минковского, вслед­ствие трансформации последнего в поле тяготения в искривлённое псевдориманово пространство-время. Позже его знаменитая ученица Амали Эмми Нётер (1918г.) сформулировала фундаментальную теорему математической физики, связывающую интегральные законы сохранения движения непосредственно с параметрами симметрии базового метрического пространства-времени. Ввиду того что псевдо­риманово пространство-время неоднородно и неизотропно, в нём эти законы не могут соблюдаться принципиально. Поэтому в ОТО нужно было либо отказаться от интегральных законов сохранения движения, либо найти какие-нибудь модифицированные аналоги вышеуказанным сохраняющимся величинам в искривляемом гравитацией пространстве-времени. Первый путь обосновывал бы в ином — уже в космическом масштабе всё тот же perpetuum mobile. Второй путь неизбежно ведёт к дальнейшему чрезмерному усложнению самой теории тяготения.

В свою очередь, принцип эквивалентности, согласно Эйнштейну, постулирует неразличимость "поля инерции" и поля тяготения на локальном уровне как в силу их тождественной

гравитационной природы. Но характер такого обобщённого G-поля

ОТО математически определяется значимостью тензора кривизны Римана - Кристоффеля. Нулевой тензор кривизны отвечает отсутствию именно поля тяготения. С другой стороны, ненулевой тензор кривизны отвечает наличию реального поля тяготения. В первом случае при любых проявлениях только сил инерции степень свободы функционального изменения метрического тензора как совокупности скалярных элементов значительно меньше, чем таковая во втором случае - при любых реальных проявлениях только сил тяготения. Рассмотрим это на дифференциально-геометрическом уровне.

* * *

Риманово пространство, как известно, имеет инфинитиземально евклидову метрику. Но в силу его кривизны уже для вторых дифференциалов протяжённости в нём проявляются отклонения от евклидовой метрики, что функционально выражают символы Кристоффеля. Кроме того, римановы пространства в целом могут иметь значительно более разнообразные топологические формы, нежели евклидово пространство. Конкретное вещественное риманово пространство размерности m может быть вложено без изменения его внутренней геометрии и топологических свойств в некоторое евклидово надпространство Причём минимальный порядок вложения nmin априори находится в интервале от m до ∞.