Дискретно-непрерывная математика (стр. 97 )

В свою очередь, этот 4×4-тензор проективно расщепляется на 3×3-тензор (проекция на евклидово подпространство скаляр

(проекция на стрелу времени и пару сопряжённых векторов

(смешанные проекции). В мгновенном собственном базисе этот двух­валентный тензор является абсолютным инвариантом

С другой стороны, физические характеристики, подвергаемые лоренцеву сокращению, вычисляются в через деформационную матрицу-тензор (365), (31 А), которая в нём имеет вид:

По существу это есть сферически квазиортогональный тензор деформации в Отметим, что релятивистское возрастание массы движущегося тела имеет также чисто кажущуюся - координатную природу. С учётом лоренцева сокращения объёма (40А) формальная координатная плотность тела возрастает ещё более. Но это вовсе не означает, что на тело в движении действуют какие-либо дополнительные сжимающие силы. Последние как собственные определялись бы одинаково в любых инерциальных системах отсчёта, в том числе в мгновенном базисеВ тригонометрической трактовке СТО все релятивистские преобразования физических величин определяются операциями с вышеуказанными тензорами движения и деформации.

Заметим также, что через соотношения (80А), (81 А) устанавливается релятивистский аналог формулы Циолковского для ракеты, движу­щейся за счёт внутренней реактивной силы:

где - начальная и мгновенная масса ракеты, u - скорость

истечения реактивного топлива, Для гипотети-

ческой фотонной ракеты (u = с) имеем:

В сравнении с классическим вариантом Циолковского, выше­указанная релятивистская формула даёт остаточную массу ракеты меньше исходя из достигнутой координатной скорости и больше исходя из достигнутой собственной скорости:

* * *

В качестве конкретного примера для иллюстрации, в том числе и парадокса близнецов, рассмотрим тригонометрические выкладки для гиперболического движения ракеты с реверсом, схема которого приведена на рис. 3А. (Подобные примеры впервые рассматривал Ланжевен.)

Полёт фотонной ракеты до окрестности ближайшей звезды "Проксима Центавра" и обратно в вышеуказанном идеальном режиме характеризуется следующими параметрами:

- расстояние в одну сторону L ≈ 4,26 световых лет ≈ 40,3∙1015 м.

- внутреннее ускорение g = 10м/сек2,

- скорость истечения топлива u = с;

— результаты вычислений

Рис. 3А. Реверсивное гиперболическое движение материальной точки в псевдодекартовых (слева) и в квазидекартовых (справа) координатах под действием постоянного внутреннего ускорения или эквивалентного гравитационного поля с постоянной напряжённостью.

В данном случае время в световых годах, выражающее в астро­номическом масштабе покрытое расстояние туда и обратно, даже больше затрачиваемого собственного времени. Относительное сни­жение массы фотонной ракеты (только за счёт расхода топлива) по релятивистской формуле составляет:

Фотонная ракета с земным внутренним ускорением теоретически менее чем за год достигнет собственной скорости «с» и в конце разгона превысит её трёхкратно. Однако по завершении этой гипотетической экспедиции от первоначальной снаряжённой массы ракеты должна остаться совершенно ничтожная часть, что красноречиво свидетельствует об умозрительности путешествий даже к ближайшим звёздным системам за вышеуказанные порядки времён с использова­нием релятивистских эффектов СТО.

* * *

В общем случае неравномерного, но опять-таки прямолинейного физического движения определяются мгновенные характеристики искривления мировой линии по касательным к ней гиперболе (в <Р3+1>) или гиперболической косинусоиде (в в какой-либо точке М. При таком типе движения мировая линия в целом находится в объемлющей псевдоплоскости или квазиплоскости.

Как и в случае идентичной касательной окружности к каким-либо регулярным кривым (в одной точке), для идентичных касательных гиперболы и гиперболической косинусоиды справедливо одно общее утверждение. А именно кривые с такого рода идентичными касатель­ными в точке М имеют в ней же тождественные производные первого и второго порядка, выраженные в соответствующей соприкасающейся плоскости, псевдоплоскости, квазиплоскости.

Радиус гиперболической кривизны в соприкасающейся <Р1+1> направлен по вектору псевдонормали от центра касательной гиперболы. Радиус сферической кривизны в соприкасающейся направлен по вектору квазинормали к центру касательной окружности. Вектор касательной е псевдоортогонален и квазиортогонален Все эти векторы суть единичные в своей метрике. Общий математический критерий плоского типа кривой, а следовательно, и вышеуказанного типа мировой линии есть нулевое кручение при ненулевой кривизне.

Пусть координаты точек мировой линии фиксируются в <Р3+1> в заданном универсальном базисе Относительно него простое прямолинейное физическое движение материального тела определяется тем, что характеристический угол движения γ имеет постоянный вектор направляющих косинусов еα именно в Тогда объемлющая псевдоплоскость обязательно содержит в себе стрелу времени Ей отвечает пространственная ось χ. Она, касательная е и псевдо­нормаль имеют одинаковый вектор направляющих косинусов еα. Собственная ось χ образyет угол γ с вектором и угол φ(γ) с вектором Те же углы образует вектор е с осью в псевдоплоскости и с осью в квазиплоскости. Из общих тригонометрических соображений вычисляем все определяющие характеристики касательных кривых.

Для касательной гиперболы в объемлющей псевдоплоскости

(102А)

Для касательных косинусоиды и окружности в объемлющей квазиплоскости

(103А)

Аналогичным образом вычисляются касательные гиперболы и меридианные (большие) окружности к простым относительно плоским кривым в пространствах <Р2+1> и <Q2+1> в гиперболической и в сферической неевклидовых геометриях.

Вообще же тригонометрические формулы

(104 А)

применимы и в частных дифференциалах для плоских и закрученных кривых, но с условием еα = const. (См.: о разложении абсолютной кривизны на две взаимно-ортогональные компоненты в гл. 10А.)

Глава 6А. Изоморфное отображение псевдоевклидова пространства в квазиевклидово и в сжатое квазиевклидово пространства

Пространство, само по себе, без движущейся в нём материи не имеет какого-либо физического смысла. Это всего лишь та или иная математическая абстракция, приспособленная для описания в удобной форме законов движения материи координатным способом. При наложении на формы этих законов каких-либо ограничений, например требования ковариантности, выбор допустимого координатного пространства становится более определённым. В предыдущей главе, согласно (97А), было введено специальное квазиевклидово простран­ство относительно заданного Его гносеологическое значение может состоять в том, что в нём достаточно наглядно представляются разнообразные варианты релятивистских путешествий в объективной оценке самого путешественника N (но не его как простого наблюдателя). В такой объективной оценке евклидова составляющая пространства-времени в целом остаётся неизменной. В свою очередь, стрела текущего собственного времени путешественника N перма­нентно сферически ортонормируется по отношению к При этом она же оказывает перманентное воздействие начто выражается в конкретной мировой линии наблюдателя Следовательно, для каждого возможного варианта путешествия есть свой отклик вв виде мировой линии - стрелы временив общем случае криволинейной. Квазидекартовы координаты точек этой мировой линии фиксируют затраченное собственное время ст путешественника N и покрытое им собственное расстояние χ, измеряе­мое синхронно с наблюдателем N1 в универсальном базисе. Условие синхронизации событий в всегда одно и то же: параллельность множества мировых точек постоянному подпространствучто отвечает соотношению (85А). Евклидова длина мировой линии равна здесь затраченному координатному времени ct.