Дискретно-непрерывная математика (стр. 100 )

В СТО угол ортосферического сдвига Θ13 имеет чисто релятивист­скую природу. Реально из исходного базисаэтот релятивистский эффект воспринимается таким образом, что неточечный объект в результате суммирования двух поступательных, но неколлинеарных скоростей воспринимается наблюдателем N1 сферически повёрнутым в плоскости, задаваемой векторами v12 и v23. Этот геометрический эффект дополняет лоренцево сокращение того же объекта (в повёрнутом виде) в направлении вектора суммарной скорости v13. Аналогичный эффект ортосферического сдвига проявляется в гиперболической и в сферической геометриях для неколлинеарного суммарного посту­пательного движения неточечных объектов или координатного базиса.

Впервые угол ортосферического сдвига в скалярной форме был выявлен Зоммерфельдом (1931г.) для сложения двух ортогональных скоростей с трактовкой на сфере мнимого радиуса по формулам гипербо­лической геометрии. Это имело целью дать наглядную трактовку релятивистского коэффициента «1/2» в прецессии Томаса.

Тензорные углы Г13 и отличаются только векторами своих направляющих косинусов. Поэтому результат суммирования двух движений в векторной и в тензорной формах не зависит от порядка их последовательности тогда и только тогда, когда направляющие косинусы этих движений либо равны, либо аддитивно противоположны, то есть когда ротационные матрицы тригонометрически согласованы. Заметим, что итоговый результат в скалярной форме для двух движений от этого порядка не зависит.

Пусть - вектор направляющих косинусов для Г12,

sh γ12, th γ12 и v12 в декартовом суббазисе - вектор

направляющих косинусов для в декартовом

суббазисеОпределим условную характеристику ε - угол между

еα и еβ, как если бы они находились в одном и том же через

формальное значение его косинуса:

(119А)

Если частные косинусы попарно равны, то cos ε= +1. Если они попарно аддитивно противоположны, то cos ε=- 1. Соответственно тогда v12 и v23 условно коллинеарны, но либо однонаправленно, либо разнонаправленно. Если же cos ε = 0, то v12 и v23 условно сферически ортогональны. В общем случае эти векторы образуют условно угол ε.

Далее вычисляем элементы итоговой гиперболической матрицы roth Г13, согласно (114А). Из них найдем значения характеристик суммарного движения, в том числе его направляющие косинусы cos σ1, cos σ2, cos σ3 в декартовом суббазисе В свою очередь, для обратного порядка последовательности движений скалярный гиперболический угол итогового движения (в матрице есть тот же γ13. В тензорной форме он имеет направляющие косинусы Из (113А) вытекает, что

(120 А)

Связь между двумя вариантами двухступенчатого движения (прямым и обратным) сводится к замене частных углов по схеме:

(121А)

Сначала найдём элементы матрицы-произведения в (114А):

При этом для дальнейших вычислений требуются только элементы её четвёртой строки. Гиперболические матрицы roth Г здесь можно использовать в любой из канонических форм (363) или (364). Далее:

Затем вычисляем нижний диагональный элемент (скаляр) матрицы перемножая четвёртую строку В на четвёртый столбец roth Г12:

Отсюда сразу же следует известная скалярная косинусная формула гиперболической неевклидовой геометрии Лобачевского - Больяи:

(122 А)

В неевклидовой геометрии (п — ε) = А123 — внутренний угол тре­угольника между сторонами «12» и «23»; в СТО ε - соответствующий внешний угол. При реальном физическом движении материи все γ > 0 (на верхней и нижней частях гиперболоида Минковского), что в СТО соответствует ∆ct > 0 (движение в будущее). С учётом этого из (122А) для положительных углов движения (и расстояний по метрике Ламберта) следует правило "параллелограмма", как в евклидовой геометрии:

(123А)

При этом направляющие косинусы углов движения или их тригоно­метрических проекций в евклидовых подпространствах изменяются в пределах от - 1 до + 1. Неравенства (123 А) и γ > 0 относят расстояние в гиперболической геометрии в категорию норм.

Соответствующая формула для скалярного синуса получается из (122А) тригонометрическим способом в виде суммы двух квадратов:

(124 А)

Из (122 А) и (124А) находим формулу для скалярного тангенса в том же виде:

(125А)

Последняя приводится к классическому варианту (здесь также в тригонометрической форме):

В (122 А) и (126 А) непосредственно видна независимость суммарной скалярной скорости и угла движения от порядка последовательности двух складываемых скоростей или движений. Это тригонометрическая формулировка в скалярной форме классического закона сложения двух координатных скоростей Пуанкаре - Эйнштейна. Но, как следует из ранее изложенного, закон сложения скоростей или движений в полном виде должен содержать ещё информацию об ортосферическом сдвиге применительно к неточечным объектам. С другой стороны, из (124А) непосредственно следует родственный закон сложения двух собственных скоростей в скалярной синусной форме.

Ещё в одном варианте закон сложения двух скоростей выражается через релятивистские факторы (которым здесь отвечают секансы углов движения). Непосредственно из (122А) вытекает секансное соотношение:

(127А)

Кроме того, формулы (122А), (124А), (126А), (127А) позволяют трактовать тригонометрическим образом правило сложения двух гиперболических отрезков или углов гиперболического движения в скалярной форме со стороны различных гиперболических функций. Если cos ε = ±1, то из них следует простейшее аддитивное правило (69А). Если cos ε = 0, то для суммы двух условно ортогональных друг другу гиперболических отрезков или движений следуют частные тригонометрические формулы:

(128А) (129А) (130А)

Но в трёхмерном евклидовом пространстве взаимно ортогональ­ными могут быть максимально три вектора. Выполнив последовательно два акта суммирования трёх условно ортогональных отрезков или движений, выводим соответствующие трёхступенчатые скалярные тригонометрические формулы. (В данном частном случае суммарный скалярный угол также не зависит от порядка последовательности частных движений.) Для суммы трёх ортогональных отрезков имеем:

(131А) (132А)

(133А)

Если здесь хотя бы один из частных углов бесконечен (то есть γ=∞, th γ= 1, v = ± с), то аналогичное имеет место и для общего угла. Это соответствует скоростному постулату Эйнштейна (15 А). Условно ортогональное суммирование движений (например, в виде проекций в ортогональных криволинейных координатах Гаусса) естес­твенным образом обобщается для n-мерной геометрии Лобачевского — Больяи, что весьма просто выражается в мультипликативной ком­мутативной косинусной интерпретации:

Итоговый скалярный угол γ1t (и соответственно расстояние a1t = R∙γ1t) не зависит от порядка последовательности частных условно ортогональных движений. Например, протяжённость суммарного условно ортогонального движения по гиперболоиду в <Рn+1> или в пространстве Лобачевского — Больяи определяется в виде:

Далее с точки зрения тензорной тригонометрии вычисляем направляющие косинусы итоговой двухступенчатой ротации Г13 и соответственно векторов th γ13, sh γ13 и v13 в декартовом суббазисе Воспользуемся тем фактом, что они тождественны для матриц roth Г и roth 2Г. Вслед за элементом s44 матрицы roth2 Г]13 = roth 2Г13 в (114А) вычисляем её остающиеся нижние элементы, перемножая четвёртую строку В на k-й столбец roth Г12 (k = 1,2,3):