Дискретно-непрерывная математика (стр. 98 )

В данном аспекте формально синтезируется только из

времениподобной составляющей векторного пространства <Р3+1>. Например, в координатах (рис. 2А) линия или вектор с

любым наклоном отображает только временной процесс, то есть это всегда мировая линия. (Возможно аналогичное всеобъемлющее преобразование совместно с конкретными геомет-

рическими объектами.) В ином аспекте синтезируется только

из пространствуподобной составляющей векторного <Р3+1> В этом специальном квазиевклидовом пространстве все линии и векторы прос-транствуподобны. Особый интерес представляют такие преобразования исходного пространства соместно с гиперболоидами I и II.

Гиперболоид I как геометрическое место времениподобных гиперболических кривых в <Р3+1> преобразуется в цилиндрическую поверхность в образующие которой - те же спрямлённые гиперболы С другой стороны, исходный цилиндр из кругового множества осей преобразуется в катеноид I в как геометрическое место времениподобных косинусоидных кривых Катеноид 1-односвязная (минимальная) гиперповерхность, получаемая вращением времениподобной гиперболической косинусоиды вокруг централизованной оси

Аналогичное преобразование гиперболоида II как геометри­ческого места пространствуподобных гиперболических кривых даёт катеноид II - двухсвязную гиперповерхность в. Он получается вращением пространствуподобной гиперболической косинусоиды вокруг оси В данном случае стрела времени остаётся неизменной, а преобразуются только пространственные оси с сохране­нием их вектора направляющих косинусов.

Между гиперболоидами I, II и катеноидами I, II устанавливается изоморфизм на основе равенства либо пространственных координат (в первом случае), либо временной координаты (во втором случае). Но более того, геометрию гиперболоида I возможно реализовать на изометричной ему гиперповерхности в некотором объемлющем специальном квазиевклидовом пространствеДля этого осу-

ществим дальнейшее изоморфное преобразование катеноида I.

Как известно, эвольвента гиперболической косинусоиды (цепной линии) есть трактриса Причём при развёртке косинусоиды её евкли­дова длина переносится на нормаль трактрисы. Вместе с тем, текущий нормальный вектор трактрисы тождествен текущему касательному вектору гиперболической косинусоиды как вектор-расстояние между двумя указанными кривыми [рис. 2А (4)]. Формально это означает спрямление криволинейной стрелы времени в текущую нормаль трактрисы с соответствующей ей длиной. В процессе вышеуказанного вращения времениподобной косинусоиды вокруг централизованной оси вместе с сопутствующей времениподобной трактрисой внутри катеноида I дополнительно производится гиперпсевдосфера Бельтрами. (Заметим, что при этом трактриса считается непрерывной кривой.) Все четыре указанные поверхности вращения: гиперболоид I, цилиндр, катеноид I и гиперпсевдосфера - гомеоморфны и имеют один и тот же характеристический параметр R (радиус вращения). Но среди них только гиперболоид I и гиперпсевдосфера Бельтрами имеют одну и ту же - постоянную и отрицательную гауссову кривизну. Последнее обстоятельство, согласно теореме Бельтрами, определяет гиперболическую неевклидову метрику на таких поверхностях, или метрику Ламберта. Как известно, гомеоморфизм и изометричность в малом каких-либо поверхностей необходимы и достаточны для изометричности в большом, то есть для изоморфности их внутренних геометрий в целом.

Отсюда следует главный вывод. Цилиндрическая гиперболическая неевклидова геометрия изоморфна в целом геометрии Бельтрами на вещественной непрерывной гиперпсевдосфере при одном и том же характеристическом радиусе R.

В данном изометричном отображении (n — 1)-мерный центральный пояс (или экватор) гиперболоида I и гиперпсевдосферы суть автоморфизмы. Фигуры, проходящие в процессе движения через него на гиперпсевдосфере Бельтрами претерпевают излом под углом 180°, что не отражается на их метрических и топологических свойствах.

Далее установим, как преобразуются координаты в процессе трансформации гиперболоида I в гиперпсевдосферу Бельтрами. Асимптотическая осьобразующих трактрис (собственная ось

вращения гиперпсевдосферы) параллельна [рис. 2А (4)]. Ось χR трактрис направлена противоположно оси χ — к центру вращения О на оси но имеет тот же вектор направляющих косинусов. Точка возврата трактрисы О1 отображает центральную точку гиперболы и поэтому также принадлежит кривой. При в

верхней и нижней частях, а в точке возврата они нулевые Из тригонометрических соображений и с учётом (89А). (94А) текущие координаты ответной точки М' трактрисы выражаются в виде:

(105 А)

где функциипри движении вдоль кривой монотонно

убывают от 1 до 0. Они вносят соответствующие уменьшающие коэф­фициенты в непрерывные отображенияв результате чего исходная гипербола преобразуется в трактрису. Поэтому χR и сτR определяются как сжатые координаты собственного расстояния и собственного времени;определяется как специальное сжатое квазиевклидово пространство, объемлющее псевдосферу Бельтрами.

Применив далее формулы гиперболического движения (86А), (87А), приводим соотношения (105А) к полной тригонометрической форме и вместе с этим вычисляем евклидово расстояние lR вдоль трактрисы:

(106А)

Из этих параметрических уравнений следует, что все трактрисы подобны между собой, аналогично окружностям и равнобочным гиперболам. Множитель «R» есть коэффициент подобия как для гипербол, так и для трактрис. Уравнения для единичной трактрисы в явной и параметрической формах выражаются в виде:

(107 А)

(108А)

Для сравнения укажем параметрические уравнения сферической циклоиды:

Циклоиды также подобны между собой. Следовательно, по сути трактриса есть гиперболический аналог циклоиды, но с одним циклом.

В "фокальной" точке трактрисы, отвечающей

Из этих же соотношений для неё вытекает неравенство прямоугольного треугольника:

Формально скорость равноускоренного движения в сжатых коорди­натах, согласно (106А), выражается соотношением:

то есть в процессе движения она изменяется от ∞ до 0.

Кроме того, из (106А) и (105А) получаются предельные формулы:

Отсюда, в частности, следует, что в процессе равноускоренного движения какой-либо материальной точки, согласно его описанию в сжатых координатах, её мировая точка асимптотически приближается коси [рис. 2А(4)].

Ввиду того, что гиперпсевдосфера Бельтрами получается вра­щением радиуса R трактрисы относительно своей асимптоты — оси то ортогонально ей она имеет тот же коэффициент подобия «R». Следовательно, все гиперпсевдосферы Бельтрами подобны между собой в объемлющем квазиевклидовом пространстве аналогично гиперсферам в и гиперболоидам Минковского в <Рn+1>.