Дискретно-непрерывная математика (стр. 117 )

Исходные параметры «а» и «r» однозначно задают постоянный гипер­болический угол движения

Осуществляя ортогональное дифференцирование (223А) и (233А) в указанных цилиндрических координатах, получаем формулы для кривизны и кручения, а также их тригонометрическую взаимосвязь:

(242А)

С учётом того, что отсюда вытекают соотношения:

(243 А)

Полная кривизна ротации псевдонормали как 4-вектор направлена параллельно базовому и строго к оси винта Угловые скорости

и внутренние ускорения выражаются в виде:

В каждой точке М псевдовинта соприкасающаяся псевдоплоскость рассекает объемлющий цилиндр по мгновенному касательному эллипсу. В его перигее (точке М) радиусы касательных окружности и гиперболы совпадают. Следовательно, нормаль и псевдонормаль к псевдовинтовой мировой линии одинаковы (n = р).

В подвижном трёхграннике Френе 4-вектор

псевдонормали р(сτ), как и k(сτ), направлен перпендикулярно к базовой оси 4-вектор бинормали b(сτ), как и t(сτ), направлен тангенциально к окружности радиуса r планетарного физического движения в базовом то есть вдоль вектора скорости v, но в противоположном ему направлении; 4-вектор единичной касательной i(сτ), как и с(сτ), направлен по мировой линии, то есть по В силу этого р(сτ) и i(сτ) совместно сферически и гиперболически ортогональны друг другу (см. формулу (240А)).

Изложенная абсолютная трактовка, в принципе, обобщается для псевдовинтового движения, проекцией которого является обычное эллиптическое планетарное физическое движение.

* * *

В самом же общем случае для мировой линии в <Р3+1> λ = 4 = max. Тогда бинормаль b(сτ) как единичный вектор подвергается общей сферической ротации в псевдоортогонально дополнительном

к i(сτ), но с двумя степенями свободы в силу её перманентной сфери­ческой ортогональности к псевдонормали. Формально вторая степень свободы вызвана ротацией плоскости кручения в или её ортопрецессией Z(сτ). При 4-ом дифференцировании вдоль мировой линии после (222А), (223А) и (233А) общая сферическая ротация бинормали разлагается на две сферические составляющие, ортогональные друг другу. В результате имеем третью формулу:

(244А)

Здесь первая часть сферической ротации бинормали синхронна со сферической частью общей ротации псевдонормали в формуле (233А). Обе ротации происходят в плоскости Вторая часть

сферической ротации бинормали осуществляется в мгновенной абсолютной плоскости ортопрецессии бинормали вокруг

мгновенной псевдонормали р(сτ) (Как и ранее, здесь используется взаимная ортогональность единичного вектора-функции и его вектора-дифференциала любого порядка.) Единичный 4-вектор тринормали h(сτ) является однозначным (при λ=4=max) ортогональным дополнением в Наиболее общо он определяется также однозначно как псевдо­ортогональное дополнение в базовом псевдоевклидовом пространстве-времени <Р3+1> к тройке единичных орт-векторов - псевдонормали, бинормали и касательной:

(245А)

Тринормаль h(сτ) в плоскости ортопрецессии бинормали b(сτ) перманентно сферически ортогональна ей. При заключительном 5-ом дифференцировании вдоль мировой линии после (222А), (223 А), (233 А) и (244А) имеем четвертую формулу:

(246А)

Это соотношение вытекает из очевидного условия, что формально последующий и последний в получаемой серии абсолютный дифференциально-геометрический параметр пятого порядка при λ = 4 является обязательно нулевым (то есть их цепь обрывается). Она, конечно, также имеет свой вещественный аналог для регулярных кривых, вложенных в евклидово пространство и т. д.

В последовательности эти

единичные векторы задают полный абсолютный 4-х ортовый мгно­венный псевдодекартов базис в <Р3+1>. Здесь они, по определению, составляют правую четвёрку базисных векторов, или мгновенный псевдоортогональный репер. (Ортопрецессия бинормали в окрестности точки М мировой линии совершается в как для правого винта

в абсолютном 3-х ортовом суббазисе при положительном значении величины L.) В указанном случае правая четвёрка базисных векторовзадаёт

характеристический подвижный четырехгранник в <Р3+1>.

Абсолютная мгновенная угловая скорость сферической орто­прецессии бинормали и вместе с тем сферической ротации тринормали в плоскости выражается в виде:

(247А)

где — мгновенное внутреннее ускорение ортопрецессии

бинормали и ротации тринормали. Как 4-вектор оно направлено по мгновенному вектору тринормали:

(248А)

Абсолютная полная сферическая кривизна для общей сферической ротации бинормали b(сτ) в векторной и скалярной формах определя­ется из (244А) в виде:

(249А)

(250А)

Здесь gL(m)=gL(сτ) - мгновенное внутреннее ускорение общей

сферической ротации бинормали (брутто-параметр). Как 4-вектор оно направлено по соответствующему суммарному вектору полной кривизны ротации бинормали l(сτ).

В свою очередь, тринормаль h (сτ), согласно (246А), подвергается сферической ротации в плоскости синхронно со второй

частью сферической ротации бинормали. Эта часть ротации b(сτ) как единичного вектора имеет сферичискую кривизну Z (радиус кривизны Rz = 1/Z ) и направляющий орт h (сτ) - вектор тринормали. Поэтому ортопрецессию можно также определить как кривизну третьего порядка. В РТГ в базовом пространстве-времени Минковского это есть максимальный порядок абсолютной кривизны мировой линии. В ОТО в произвольном псевдоримановом пространстве-времени тот же порядок абсолютной кривизны мировой линии был бы не ограничен сверху в силу неопределённости размерности объемлющего его псевдо­евклидова пространства.

Таким образом, в данной заключительной главе, с применением средств тензорной тригонометрии, была изложена геометрическая трактовка абсолютного движения материальной точки под действием активных сил любой природы, в том числе гравитационных, как если бы оно происходило, согласно РТГ, в пространстве-времени Минковского и отображалось наблюдателем в каком-либо его универсальном базисе без искажения пространственно-временной гравитационной линзой, разделяющей материальную точку и данного наблюдателя. В частности, именно такое описание абсолютного движения должно иметь место в локальной окрестности этого пространства-времени, где проходит мировая линия указанной материальной точки.

Литература

1. Александров аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Наука, 1979.

2. Архангельский векторные пространства. - М.: Физматгиз, 1982.

3. Неравенства: Пер. с англ. - М.: Мир, 1965.

4. Беклемишев аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Физматгиз, 2003.

5. РейнаЧ. Прецессия Томаса. Подход Зоммерфельда: Пер. с англ. // Эйнштейновский сборник 1984 - 85. - М.: Наука, 1988, с. 201 -214.

В оригинале: Belloni L., Reina С. Sommerfeld's way to the Thomas precession // Europ. J. Phys. - 1986, v. 7, p. 55 - 61.

6. , Минаков линзы. - Киев: Наукова Думка, 1989.