Дискретно-непрерывная математика (стр. 13 )

Пусть теперь R — циклическое пространство и минимальный многочлен его есть степень неприводимого в поле К многочлена:В этом случае минимальный многочлен любого инвариантного подпространства в R тоже будет степенью этого неприводимого многочлена φ(λ). Следовательно, минимальные многочлены любых двух инвариантных подпространств не могут быть взаимно простыми. Но тогда в силу доказанного предложения R не расщепляется на инвариантные подпространства.

Пусть, обратно, известно, что некоторое пространство R не расщепляется на инвариантные подпространства. Тогда R — циклическое пространство, иначе его можно было бы расщепить с помощью второй теоремы о расщеплении на циклические подпространства; кроме того, минимальный многочлен R дол­жен быть степенью неприводимого многочлена, так как в противном случае R можно было бы расщепить на инвариантные подпространства в силу первой теоремы о расщеплении.

Таким образом, приходим к следующему выводу:

Теорема 7. Пространство не расщепляется на инвариантные подпро­странства тогда и только тогда, когда 1° оно циклическое и 2° минимальный многочлен его есть степень неприводимого в поле К многочлена.

Вернемся теперь к расщеплению (97) и разложим минимальные много­члены (λ) циклических подпространств І1,І2, ...,Іt на непри­водимые в поле К множители:

(39)

(39)

( Некоторые из показателейпри k > 1 могут равняться нулю).

Применим к І1 первую теорему о расщеплении. Тогда получим:

где — циклические подпространства с минимальными многочленами Аналогично расщепим подпространства І2, ...,Іt.Тем самым мы получим расщепление всего пространства R на цикли­ческие подпространства с минимальными многочленами (при этом выбрасываются те степени, у которых показатели равны нулю). Из теоремы 7 следует, что эти циклические подпро­странства уже далее нерасщепимы (на инвариантные подпространства). При­ходим к следующей теореме:

Теорема 8 (3-я теорема о расщеплении пространства на инвариантные подпространства). Пространство всегда можно расщепить на циклические инвариантные подпространства

(106)

так, чтобы минимальный многочлен каждого из этих циклических подпро­странств был степенью неприводимого многочлена.

Эта теорема дает расщепление пространства на нерасщепимые далее инва­риантные подпространства.

Замечание. Теорему 8 (3-ю теорему о расщеплении) мы получили, применяя первые две теоремы о расщеплении. Однако 3-ю теорему о расщеп­лении можно получить другим путем, а именно, как непосредственное (почти тривиальное) следствие из теоремы 7.

Действительно, пространство R, если оно вообще расщепляется, всегда можно расщепить на нерасщепимые далее инвариантные подпространства:

Согласно теореме 7 каждое из слагаемых подпространств является циклическим и имеет в качестве своего минимального многочлена степень неприводимого в К многочлена.

11.13. Нормальная форма матрицы

Пусть І1 — m-мерное инвариантное подпространство в R. Выберем в І1 про­извольно базис и дополним его до базиса в R:

Посмотрим, как будет выглядеть матрица А оператора А в этом базисе. Напомним, что k-й столбец матрицы А заполняется координатами вектора При k≤т вектор (всилу инвариантности І1) и, следовательно, последние п — т координат вектора Аеk равны нулю. По­этому матрица А имеет такую форму:

(107)

где А1 и А2 — квадратные матрицы порядка т и п — т, а А3 — прямоугольная матрица. Равенство нулю четвертого «блока» и выражает инвариантность под­пространства І1. Матрица А1 задает оператор А в І1 (при базисе

Допустим теперь, что тоже есть базис некоторого инвариантного подпространства І2, т. е. R = І1 + І2 и базис всего пространства составлен из двух частей, которые служат базисами в инвариантных подпространствах І1 и І2. Тогда, очевидно, в (107) и блок А3 будет равен нулю и матрица А будет иметь квазидиагональный вид:

(108)

где А1 и А2 — квадратные матрицы порядков т и п — т, задающие оператор в подпространствах І1 и І2 (при базисах соответственно Нетрудно видеть, что и, обратно, квазидиагональному виду матрицы всегда соответствует расщепление пространства на инвариантные подпростран­ства (при этом базис всего пространсгва составлен из базисов этих подпро­странств).

В силу 2-й теоремы о расщеплении мы можем расщепить все пространство R на циклические подпространства I1, I2 ,...,It:

(109)

В ряду минимальных многочленов этих подпространств каждый многочлен есть делитель предыдущего (отсюда уже автоматически следует, что первый многочлен есть минимальный многочлен всего простран­ства).

Пусть

(110)

Обозначим через порождающие векторы в подпространствах I1, I2 ,...,It и составим базис всего пространства R из следующих базисов цикли­ческих подпространств:

(111)

Посмотрим, какова будет матрица L1, отвечающая оператору А в этом базисе.

Как было выяснено в начале этого параграфа, матрица L1 должна иметь квазидиагональную форму

(112)

Матрица L1 отвечает оператору А в I1 при базисе

Припоминая правило составления матрицы по заданному оператору и задан­ному базису, найдем:

Аналогично (113)

(114)

и т. д.

Вычислив характеристические многочлены матриц L1, L2, ..., Lt, получим:

(для циклических подпространств характеристический многочлен оператора А совпадает с минимальным многочленом подпространства относительно этого оператора).

Матрица LІ отвечает оператору А в «каноническом» базисе (111). Если А — матрица, отвечающая оператору А в произвольном базисе, то матрица А по­добна матрице LІ т. е. существует такая неособенная матрица Т, что

А = Т LІТ-1. (115)

Про матрицу LІ мы будем говорить, что она имеет первую естественную нормальную форму. Первая естественная нормальная форма характеризуется

1) квазидиагональным видом (112),

2) специальной структурой диагональных клеток (113), (114) и т. п.,

3) дополнительным условием: характеристический многочлен каждой диа­гональной клетки делится нацело на характеристический многочлен следую­щей клетки.