Дискретно-непрерывная математика (стр. 56 )

Отсюда видно, что произвольный элемент х однозначно разлагается на проекции(на <ker Bp> параллельно <im Bp>) и(на <im Bp> параллельно <ker Bp>). Итак,

(61) (62)

Для некоторых частных случаев имеем:(где а-скаляр);

(63)

(64)

(65)

(66)

Для степени сингулярной матрицы получаем обобщения:

(67) (68)

В аффинном пространстве определяется собственная аффинная квазиобратная матрица, коммутирующая с исходной матрицей:

(69)

Она играет роль обратной матрицы на <im Bp> и нулевой — на <ker Bp> и определяется уравнениями:

(70)

Для неё же справедливы соотношения: rang Вр~ = rang Bp;

Согласно (1), (61), (62) и (69), аффинные проекторы и квазиобратная матрица представляются пределами:

(71) (72) (73)

Тривиальными частными случаями нуль-простых матриц Вр являются собственные простые матрицыв

том числе собственные нормальные и симметричные матрицы, степен­ные матрицы вида Bh≥s, Bih≥si.

12.9. Применение результатов в спектральном

представлении матрицы и для её приведения к основной канонической форме

Характеристические аффинные проекторы для собственных ультраинвариантных подпространств, образующих всегда прямую сумму, можно вычислить исходя из (57) для простой матрицы Р и исходя из (58)—(60) для дефектной матрицы В :

(74)

(75)

гдеСпектральное представление

матрицы В с точностью до ультраинвариантных подпространств дает одновременно её разложение на характеристические простую и нильпотентную матрицы. Такое разложение, согласно (23), интерпре­тируется жордановой формой и выражается формулой: (76)

Для составления модальной матрицы преобразования В к основной (диагонально-клеточной) канонической форме могут использоваться коэффициенты вида:

(77)

Все эти коэффициенты являются нуль-простыми матрицами Но высшие скалярные коэффициенты последних - ненулевые. Поэтому такие матрицы обязательно имеют базисный диагональный минор, на перекрёстке которого расположены базисная -субматрица

строк и базисная -субматрица столбцов. Соответственно из

субматриц столбцов составляется ковариантная, а из субматриц строк - контравариантная модальные матрицы:

(78) (79) (80)

(81)

где Сμ обозначает каноническую клеточную форму матрицы В в последовательности собственных значений — матрицы вектор-столбцов исходного базиса и базиса канонической формы. Кроме того, каждое ульграинвариантное подпространство содержит, как известно, неинвариантные подпространства: (82)

(83)

Если из проекции в ультраинвариантной клетке вычесть простую диагональную часть, то остаётся нильпотентная клетка, которая может далее подвергаться модальному преобразованию вплоть до нильпотентной жордановой формы.

Модальная матрица, составленная в (78) - (81), получена, в принципе,

для простой матрицыПоэтому общая форма ковариантной

модальной матрицы имеет вид:

(84)

где Сq - клеточная произвольная несингулярная матрица, состоящая из несингулярных блоков с1, ..., сq. Количество нильпотентных жордановых субклеток размера t×t в i-й клетке основной формы с учётом известной формулы определится как

Для генерального спектрального представления матрицы В и её аналитических функций используют интерполяционный многочлен Лагранжа, который даёт компонентные матрицы:

(85)

Подставим сюда ранее полученное выражение (75) для фигури­рующего здесь аффинного проектора. В результате итоговая формула для интерполяционного многочлена Лагранжа приобретает вполне завершённый вид, определяемый только самой исходной квадратной матрицей.

12.10. Приведение нуль-простой матрицы к нуль-клеточной форме

Нуль-простая матрица приводится модальным преобразованием к нижеуказанной нуль-клеточной форме Вс:

Обратим внимание на то, что высшие матричные коэффициенты как нуль-простые матрицы обязательно содержат базисные диагональные миноры. Они определяют две базисные n×s-и n×r-субматрицы столбцов. Из последних составляется ковариантная модальная матрица для преобразования базиса:

(86)

Заметим, что вместо вышеуказанного коэффициента 2-го рода может использоваться непосредственно исходная матрица Вр, так как их образы тождественные. Пусть дана пара нуль-простых матриц Вр одинакового размера, для которых выполняется одновременно два условия:

Тогда с учётом (86) для них следуют соотношения:

(87)

В частности, последнее из них обобщает классическую формулу для детерминанта произведения матриц:

12.11. Нуль-нормальные сингулярные матрицы

Рассмотренные выше проекторывзаимно-однозначно

связаны с парой линейных подпространств <im Bp> и <ker Bp> в аффинном пространстве с некоторым линейным базисом.

Пусть это есть вещественное пространство. Выделим множество вещественных нуль-простых матриц <Вm>, для которых имеют место соотношения:

(88)

Геометрически данное условие выражается так

(89)

При этом <im Bm> и <ker Bm> образуют в прямую сумму, так как k(Bm, r) ≠ 0. В евклидовом пространствепроявляется геометрическая исключительность этих матриц, причём при исполь­зовании ортонормированного базиса:

(90)

То есть матрица, заданная в ортонормированием базисе в имеет симметричные характеристические проекторы тогда и только тогда, когда подпространства <im Bm> и <ker Bm> образуют прямую ортогональную сумму.