Дискретно-непрерывная математика (стр. 102 )

(143 А)

Для (143А) как функции от cos ε имеют место три экстремума: cos θ13 = + 1 при cos ε = ± 1 (максимумы) и при

cos ε = 0 (минимум).

Эти два случая тривиальны и отображают условно коллинеарные движения — однонаправленные и разнонаправленные. Минимум cos θ13 и соответственно максимум по абсолютной величине угла сферического сдвига θ13 достигается при условной ортогональности еα и еβ. Тогда для суммы ортогональных движений (скоростей) имеем:

Эта частная синусная скалярная формула, установленная впервые Зоммерфельдом, как видно даёт релятивистский коэффициент «1/2» для прецессии Томаса. В свою очередь, в векторной форме имеем:

Если одна из скоростей равна скорости света, например th γ23 = ± 1, тоТеоретически

максимальный релятивистский сферический сдвиг (θ13= ±π/2 ) имеет место при суммировании условно ортогональных световых скоростей. В гиперболической геометрии вращение θ в плоскости осуществляется против направления суммирования отрезков.

Применив для альтернативного вывода сферического сдвига специальную теорему о приведении суммы двух движений к биортого-налъной форме, получаем также общие формулы для cos θ13 и sin θ13, подставив значения:

Согласно ротационной формуле (113А), положительные значения угла θ13 отсчитываются в тригонометрической плоскости в направлении от к еσ. При этом, как указывалось ранее, , еσ и rN составляют правую тройку, что однозначно определяет направление ортосферической ротации rot Θ в структуре (497).

Особый случай отвечает ортогональной (и теперь не условно!) сумме бесконечно малых частных углов движения или их первых дифференциалов. Например, из синусных формул имеем:

Это, во-первых, выражает инфинитиземальную теорему Пифагора для прямоугольного треугольника на единичном гиперболоиде Минковского (двумерный вариант) и его площадь с точностью до знака. Во-вторых, отсюда же следует инфинитиземальная тождественность угла ортосферической ротации θ13 и сферической угловой девиации Ламберта-Гаусса-Бонне для данного гиперболического треугольника. Это по сути есть дефект, или девиация со знаком «-». (Для сферического треугольника на единичном гиперсфероиде в аналогичной формуле для углового эксцесса применялся бы знак «+».) Интегральный угол ортосферической ротации также тождествен дефекту гиперболического (геодезического) треугольника на гиперболоидах I и ІІ. (Утверждение устанавливается через интеграл по поверхности.) Это иллюстрирует хорошо известный факт неевклидовой геометрии, что угловая сферическая девиация любой геометрической фигуры, образуемой геодезическими отрезками на двумерной поверхности постоянной (в данном случае единичной) гауссовой кривизны с точностью до знака равна произведению плошади на кривизну.

Инфинитиземальная теорема Пифагора может применяться для бесконечно малых гиперболических отрезков (углов) с их количеством k≤n. Повторив, согласно (128 А)-(130 А), ортогональное суммирование для k бесконечно малых независимых частных углов, получаем:

Как и при k = 2, имеет место коммутативность частных углов движе­ния в векторной и скалярной формах суммирования. Это иллюстрирует хорошо известный факт, что неевклидова геометрия инфинити-земально евклидова. В частности, элемент площади элемент k-мерного объёма В свою очередь, первый

дифференциал общего угла движения, согласно инфинитиземальной теореме Пифагора на гиперболоидах, выражается в двух вариантах:

(144 А)

где dγ(j) - ортопроекция dγ на j-ю ось ортогональных криволинейных координат Гаусса;

(145А)

где — ортопроекции dγ в характеристическом мгновенном

декартовом суббазисе задаваемом в точке М гипербо-

лоида на касательнойС другой стороны, соотношения типа (129А), (132А) выражают неевклидов аналог теоремы Пифагора в интегральной форме. Имеется изоморфизм между любыми родственными геометрическими объектами, в том числе особыми (прямые, окружности, предельные окружности и т. д.), в пространстве Лобачевского - Больяи и на псевдосфере Бельтрами, с одной стороны, и на гиперболоидах II и I Минковского, с другой стороны (как и на их моделях Клейна и Пуанкаре). Как показано выше, в неевклидовой гиперболической геометрии угол θ есть также дефект геодезического треугольника или более сложной — составной двумерной геометрической фигуры. Он связан с тем, что на искривлённой поверхности параллельный перенос вектора зависит от пути.

В частности, для случая уже рассмотренной выше аберрации, для которой th γ13 = eσ, вычислим дополнительно косинус угла орто-сферического сдвига по формуле (143 А):

Здесь θ13 - угол ортосферической ротации и он же есть дефект гиперболического треугольника, образуемого на гиперболоиде I Минковского (радиуса R = с) геодезическими отрезками, отвечающими их проекциям-скоростям v, с и релятивистской сумме последних. (Этот угол, как отмечалось выше, относится исключительно к прецессии звёздного диска.) В самом же треугольнике скоростей на проективной евклидовой гиперплоскости угловой дефект искажается, как и углы между скоростями, кроме централизованных. (Такого рода искажения рассмотрены далее на тангенсной проективной модели Клейна.)

Релятивистские формулы эффекта Допплера для частоты света имеют простые гиперболические аналоги. Их можно получить геометрически, используя тангенс-тангенсную аналогию:

где ν и ν(1) - частота света движущегося источника и его же частота, воспринимаемая наблюдателем N1, в исходном универсальном базисе; сτ и ct(1) - одновременные интервалы времени с точки зрения N1; ∆ct(1) - продолжительность в заданного интервала излучения сτ; α-угол между направлением движения источника и лучом света.

Отметим частные случаи.

A) Продольный встречный эффект, α = 0, cos α = + 1 (источник прибли­жается): То есть здесь наблюдается "синее смещение" частоты света.

B) Продольный обратный эффект, (источник удаля­ется): То есть здесь наблюдается "красное смещение'' частоты света.

C) Поперечный эффект, То есть здесь наблюдается меньшее "красное смещение" частоты света, вследствие обычного эйнштейнова замедления времени в относительно движущемся источнике света.

Далее рассмотрим внешнюю векторную тригонометрию единичных гиперболоидов Минковского (R = 1).

* * *

Гиперболоид II

(146А)

- 4×1 псевдоединичный радиус-вектор точки гиперболоида II. Метри­ческий инвариант выражается в виде:

(147А)

Остальные тригонометрические функции получаются делением базо­вого элемента i либо на ch γ, либо на sh γ. Далее,

радиус-вектор секанса, конец ко­торого лежит на тангенсно-котангенсной евклидовой гиперплоскости (нулевому значению секанса соответствует принадлежность вектора изотропному конусу),

радиус-вектор косеканса, конец кото­рого лежит на тангенсно-котангенсной цилиндрической евклидовой гиперповерхности (нулевому значению косеканса отвечает принадлеж­ность вектора изотропному конусу),

(Все эти векторы времениподобны.)

Гиперболическое преобразование (движение) какого-либо точечного элемента i2→i3 единичного гиперболоида II в активной форме в представляется в виде: