Дискретно-непрерывная математика (стр. 67 )

(290) (291)

Тензорные косеканс и котангенс моторного угла определяются соответственно как обратные или квазиобратные синус и тангенс. Каноническая W-форма для вещественной деформационной матрицы реализуется в том же вещественном тригонометрическом базисе:

Канонические формы ротационной и деформационной матриц-функций сферического тензорного угла в комплексном тригономет­рическом базисе имеют вид:

(295) (296)

(297)

Как для ротационной, так и для бинарной деформационной матрицы детерминант каждой клетки W-формы и в целом равен -1. Деформационная матрица-функция от сферического угла симметрична и положительно определена. Ротация базисов 2×2-клеток W-формы, то есть в пределах собственных тригонометрических плоскостей, на углы приводит к диагонализации этих клеток. Собственные

значения матрицы:

и, возможно, μk = + 1. Чтобы выяснить суть бинарного деформационного преобразования, представим его в виде:

Отсюда видно, что модальное сферическое деформационное преобра­зование в канонической форме (292) сводится на собственной триго­нометрической плоскости к тому, что осуществляется растяжение координатной сетки по главной диагонали (1-й и 3-й квадрант) скоэффициентоми сжатие сетки по побочной

диагонали с обратным коэффициентом По

аналогии с представлением комплексного числа в форме (149), любое положитечъное число μ и обратное ему взаимно-однозначно представляются через сферический угол:

(298)

Дадим ещё одну интерпретацию бинарного деформационного пре­образования, связанную с использованием перекрёстных базисов. В частности, она применима при релятивистских преобразованиях в пространстве-времени Минковского. А именно пусть декартовы базисы связаны ротационным преобразованием:

Декартовы координаты вектора в обоих базисах связаны пассивным преобразованием:

В пределах t-й 2×2-клетки базис повёрнут относительно базиса на угол φt по часовой стрелке. Определим перекрёстные базисыcо смешанными осями со смешанными осями

Они связаны активным модальным преобразованием вида

(299)

В пределах той же 2×2-клетки перекрестные координаты вектора в обоих базисах связаны пассивным модальным преобразованием того же вида:

(300)

Здесь координаты вектора находятся перекрёстным проецированием. Заметим, что в евклидовом пространстве при декартовом проеци­ровании значениям координат тензорного объекта соответствует тригонометрический инвариант (182), а при перекрёстном проециро­вании значениям координат тензорного объекта соответствует тригоно­метрический инвариант (208).

Естественным обобщением бинарной сферической деформацион­ной матрицы является положительно определенная симметричная магрица с единичным детерминантом, например Любое линейное модальное преобразование V без рефлексии (для двух­валентных тензоров) сводится к модальной матрице с единичным детерминантом. Поэтому, согласно её полярному разложению, такое модальное преобразование представляется произведением ротацион­ной и обобщённой деформационной матриц при сохранении одной и той же ориентации базиса, то есть при det V > 0.

13.11. Специальные модальные преобразования

собственных ортогональных и косогональных проекторов и рефлекторов

В тензорной тригонометрии между центральным планаром и симметричным проектором одного и того же ранга имеется взаимно­однозначное соответствие. То же в евклидовом пространстве отно­сится к их ортогональным дополнениям. Эквиранговые планары, как и ортопроекторы, преобразуются друг в друга посредством как тензорной ротации, так и тензорной рефлексии. Формулы модального преобразования следуют, например, из (252), (176), (177) или непо­средственно с применением принципа бинарности:

(301) (302)

Они преобразуются как ортогональные тензоры валентности 2. "Внутри" символического октаэдра (рис. 1), проведя диагональ PQ, можно указать два характеристических "равнобедренных" тензорных треугольника PZQ и PIQ, где Кроме того,

в тензорной тригонометрии, согласно условиям (217) - (220), имеется взаимно-однозначное соответствие между парой центральных эквиранговых планаров ранга и

косопроекторами Характеристические косопроекторы

преобразуются друг в друга посредством как бинарной тензорной деформации, так и тензорной рефлексии. Формулы преобразований, аналогичные (252), (301), (302), устанавливаются также исходя из принципа бинарности и структуры косопроекторов (211), (212):

(303) (304) Аналогично (251), имеем:

(305)

"Внутри" символического октаэдра (рис. 1), проведя диагональ RS, можно указать ещё два особых характеристических треугольника: RZS и RIS. Они будут рассмотрены далее.

Формулы рефлективного модального преобразования характерис­тических проекторов в (301) и в (304) приводятся к тригонометрической форме путём поклеточного умножения слева и справа на собственные косинусы и секансы (что возможно лишь для нуль-простой исходной матрицы):

(306)

Эти модальные формулы нетрудно проверить через таблицу умножения характеристических проекторов. Формулы (302), (304), (306) — примеры модального преобразования, осуществляемого либо ротационной, либо рефлективной, либо симметричной тригономет­рическими матрицами, но с одинаковым результатом.

В обратном порядке изложения все характеристические проекторы представляются через соответствующие им пары антикоммутативных проективных тригонометрических функций, заданных как бы самосто­ятельным образом:

(307) (308)

Отсюда непосредственно следует применимость и для проекторов принципа бинарпости. Множество всех характеристических орто-проекторов и множество всех симметричных идемпотентных матриц одного и того же ранга тождественны. Множество всех характери­стических косопроекторов и множество всех несимметричных идем­потентных матриц одного и того же ранга тождественны. При условии

пары <взаимно-

однозначно соответствуют друг другу.

Представим ортопроекторы в тригонометрической W-форме, со ласно (307). Используя бинарные соотношения, вычислим модальные матрицы, приводящие ортопроекторы к диагональной форме. Например, для ортопроектораимеем:

Или в матричной форме:В исходном орто-