Дискретно-непрерывная математика (стр. 60 )

(149)

Адекватная W-форма (149) реализуется геометрически в адекватно декартовом базисе комплексного евклидова пространства. Комплексная адекватно нормальная матрица может представлять удвоенное коли­чество комплексных чисел в тех же базисах. Элементы её W-формы - комплексные числа. Упрощение адекватно нормальной матрицы путём адекватно ортогонального модального преобразования возможно вплоть до канонической W-формы.

Во втором случае имеем:

(150)

гдеЭрмитова форма (150) реализуется

в комплексном эрмитово декартовом (ортонормированном) базисе эрмитова пространства. Матрицы (150) и (148) при эрмитовой ком-плексификации упрощаются до диагональной формы в некотором эрмитово декартовом базисе. Ввиду этого эрмитово нормальная матри­ца представляет то же количество чисел - комплексных и вещественных, что и вещественная нормальная матрица. Её упрощение путём эрми­тово ортогонального (унитарного) преобразования возможно вплоть до диагональной формы. Диагональные элементы: (Для адекватно ортогональных матриц dt = ± 1; для эрмитово ортогональных матриц pt = ± 1.) Комплексные единицы ± exp (iβt) являются в общем случае отражательными диагональными элементами. Комплексное отражение (рефлексия) реализуется только в эрмитовом варианте как геометрическое преобразование. Если же диагональные элементы образуют комплексные сопряжённые пары, то в соответствующей бинарной тригонометрической клетке есть информация об эрмитовой ротации.

12.18. Примеры адекватной комплексификации

Характерными примерами адекватной комплексификации являются формулы решений алгебраических уравнений с комплексными коэф­фициентами; комплексные аналитические функции и тождества, дифференциалы и интегралы; тригонометрические формулы для комплексных углов. В комплексном пространстве, метризуемом по адекватному варианту, неизбежно получаются комплексные меры для протяжённости и угла, хотя в псевдоевклидовом пространстве реализуются вещественные и мнимые меры. Укажем соответствую­щие адекватные псевдоаналоги: псевдоевклидова геометрия, включая тригонометрию; псевдосферическая геометрия на сфере мнимого ра­диуса.

Рассмотрим, например, использование адекватной комплекси­фикации в теории аналитических функций комплексного аргумента. Пусть где z, х и у - n×1 - вектор-аргументы в комплексном

и вещественных n-мерных евклидовых пространствах;

- скалярная комплексная аналитическая функция от z. Дифференцирование и интегрирование в евклидовом пространстве по n×1-вектор-аргументу осуществляется в декартовых координатах. Адекватные аналоги исходно имеют место для полных производных, дифференциалов и интегралов. Отсюда далее выводятся частные характеристики и устанавливается их взаимосвязь:

где 1×n-вектор-производные (частные градиенты) составляют пары:

(а)

- уравнения Д'Аламбера-Эйлера в векторной форме (для скалярной функции F). Применим повторно ту же схему для 1×n-вектор-функции

(б) Первые два члена в цепочках этих равенств составляют уравнения Д'Аламбера - Эйлера в матричной форме (для дифференцируемой по комплексному аргументу вектор-функции). Наряду с симметрично­стью частных матриц Якоби (ввиду симметричности матриц Гессе), они же формулируют необходимые и достаточные условия полноты дифференциалов в квадратных скобках. Откуда для данных анали­тических функций F1 и F2 (от двух вещественных аргументов) одно­временно вытекают уравнения Лапласа в матричной форме.

В псевдоевклидовом пространстве (здесь в бинарной комплексной форме), в силу особенности его структуры, вышеуказанные харак­теристики и соотношения в некоторой степени видоизменяются:

где (а')

(б')

Отметим, что здесь уже нет требования по гармоничности функций

Ранее использованные понятия также имеют адекватные аналоги за исключением неравенств не для заведомо вещественных параметров. (Среди последних - ранг, 1-й и 2-й рок). Параллельность линейных объектов, как известно, - аффинное понятие. Именно поэтому она не зависит от выбора варианта комплексификации. Но оптимальная процедура проверки параллельности объектов для вещественного и комплексного пространств различается. Пусть две n×m-матрицы А1 и А2 задают линейные подпространства (или линейные объекты) в аффинном пространстве Чтобы использовать в процедуре

проверки параллельности характеристические симметричные про­екторы, нужно перейти к тождественной по образу n×n-матрице: где С - m×n-матрица, удовлетворяющая условиям:

В частности, для вещественного пространства выбирают С = А', а для комплексного пространства лучше выбрать С = А*. Вообще же имеют место отношения:

Но и для комплексных объектов можно также выбрать С = А', так как для них имеем:

В свою очередь, ортогональность линейных объектов определяется для комплексного евклидова пространства в адекватном варианте:

а для эрмитова пространства - в эрмитовом варианте:

12.19. Примеры эрмитовой комплексификации

Укажем примеры эрмитовой комплексификации. Это принцип максимума модуля, справедливый в том числе для вектор-функций; результаты, изложенные ранее с использованием операции транс­понирования, включая неравенства (123), (124) и (141); неравенство Адамара и отвечающее ему неравенство (125) для миноранта - все в самосопряжённой форме. В тензорной тригонометрии эрмитова пространства особое значение имеет самосопряжённый аналог тождества Коши (142), на основе которого определяются эрмитово сферические тригонометрические функции бинарных углов на эрмитовой плоскости. Аналогично производятся косинусное и синусное нормирующие неравенства для угла между двумя векторами в эрмитовом пространстве. Кроме того, в эрмитовом пространстве используют как аналоги вещественные положительно определённые меры: нормы для протя­жённости и угла.

Формулировки теоремы Кронекера — Капелли через формулы (122) и (136) связаны с минорантным признаком параллельности. Минорант отличен от нуля в адекватном варианте и положителен в эрмитовом варианте комплексификации.

Более общий по сравнению с эрмитовым симбиозный подход, определённый в начале микромодуля, в применении к теории аналитических функций и к основным операциям анализа (ортогональное дифферен­цирование и интегрирование) в комплексном пространстве приводит к симбиозным аналогам. Это суть особые правила симбиозного, или сопряжённого дифференцирования и интегрирования; особые условия дифференцируемости и аналитичности функций от сопряжённых аргу­ментови особые условия интегрируемости дифференциальных выражений (полноты дифференциала); симбиозные аналоги методов решения задач на безусловный и условный экстремум скалярной функции. Последняя необходимо симметрична по отношению к сопря­жённым аргументам. По существу это есть дальнейшее развитие известной идеи формальных производных для анализа неголоморфных, в том числе особо важных вещественных функций комплексных переменных. Для иллюстрации таковых можно указать конкретные примеры: квадрат эрмитова модуля невязки (116) комплексного линейного уравнения - модульная функция вещественные, в том числе положительные коэффициенты алгебраического уравнения, имеющего вещественные и комплексные сопряжённые корни-аргументы μі - немодульные функции от корней, сводимые в n×l-вектор-функцию

Используя эрмитов вариант модуля невязки комплексного линей­ного уравнения и предельного метода решения задачи на условный экстремум, приходим к функциональному способу вывода предельной формулы (143), (144) для комплексной квазиобратной матрицы Мура - Пенроуза.

Модуль 13.

Фундаментальное содержание тензорной тригонометрии

В начале модуля 13 дана проективная версия евклидовой тензорной тригонометрии, развиваемая с применением собственных проекторов. Определяются проективные сферические функции и рефлекторы для тензорного угла между линеорами А1 и А2 или их образами - планарами ранга r1 и r2. В иной, альтернативной интерпретации тензорный угол определяется между образами нуль-простых n×n-матриц В и В' - планарами ранга r. Далее рассматривается каноническая структура тензорных тригонометрических функций и собственных рефлекторов. Определяется (с установлением его существенной роли в тензорной тригонометрии) понятие срединного рефлектора. Самостоятельным образом последний вводится как фундаментальный рефлектор-тензор пространства, задающий бинарную структуру тензорных тригономет­рий, базирующихся на квадратичных метриках. В частности, он задаёт бинарную структуру квазиевклидовой тригонометрии. На основе этого понятия осуществляется развитие ротационной (синусно-косинусной) и деформационной (тангенсно-секансной) формы квази­евклидовой тензорной тригонометрии, то есть её моторной версии. В микромодуле 36 с применением сферическо-гиперболической аналогии абс­трактного и конкретного типов осуществлено построение сходной по форме псевдоевклидовой тензорной тригонометрии с тем же рефлектор-тензором. В микромодуле 37 отдельно рассмотрена тригонометрическая при­рода коммутативности и антикоммутативности простых матриц. В микромодулях 38 и 39 введены алгебраическим способом общие геометри­ческие и тригонометрические квадратичные нормы матричных объектов, обоснованные через соответствующие тригонометрические спектры и генеральные неравенства. В заключительных микромодулях 40, 41 и 42 рассматривается тензорная тригонометрия в комплексных пространствах. Особое внимание уделено изучению движений в псевдоевклидовых пространствах, в том числе отдельно в пространстве Минковского.