Дискретно-непрерывная математика (стр. 17 )

Совпадение характеристического многочлена ∆(λ) с минимальным многочленом ψ(λ) означает, что у матрицы нет двух элементарных делителей с одним и тем же характеристическим числом, т. е. все элементарные делители попарно взаимно просты. В слу­чае, когда А — матрица простой структуры, это требование равносильно условию, что харак­теристическое уравнение матрицы А не имеет кратных корней.

Совпадение многочленаозначает, что в качестве вектора х выбран вектор, порождающий (при помощи оператора А) все пространство R. Такой вектор согласно теореме 2 п.11.10 всегда существует.

Если же условиене выполняется, то, как бы ни выбрать вектор х ≠0, мы многочлена ∆(λ) не получим, так как полученный по методу Крылова многочлен φ(λ) является делителем ψ(λ), который в рассматриваемом случае не совпадает с многочленом ∆(λ), а явля­ется лишь его делителем. Варьируя вектор х, мы можем в качестве φ(λ) получить любой делитель ψ(λ).

Полученные выводы мы можем сформулировать в виде следующей теоремы:

Теорема 14. Преобразование Крылова дает выражение для характеристического многочлена ∆(λ) матрицы в виде определителя (159) в том и только в том случае, когда выполняются два условия:

1° Элементарные делители матрицы А попарно взаимно просты.

2° Исходные параметры а, b, ..., l являются координатами вектора х, порождающего (при помощи оператора А, соответствующего матрице А) все п-мерное пространство.

(В аналитическом виде это условие означает, что столбцы

где х = (а, b, ..., l), линейно независимы).

В общем же случае преобразование Крылова приводит к некоторому делителю φ(λ) харак­теристического многочлена ∆(λ). Этот делитель φ(λ) является минимальным многочленом для вектора х с координатами а,b, ..., l (а, b, ..., l — исходные параметры в преобразовании Крылова).

5. Покажем, как найти координаты собственного вектора у для любого характеристи­ческого числа λ0, которое является корнем многочлена φ(λ), получающегося по методу Кры­лова. (Последующие рассуждения имеют место как для регулярного случая р—п, так и для особого случая р < п).

Вектор у ≠0 будем искать в виде

(167)

Подставляя это выражение для у в векторное равенство

и используя (167), мы получим:

(168)

Отсюда, между прочим, следует, что так как равенство в силу (168) давало бы линейную зависимость между векторами В дальнейшем мы полагаем

Тогда из (168) получаем:

(169)

Первые р из этих равенств определяют нам последовательно величины (координаты вектора х в «новом» базисе последнее же равенство является следствием из предыдущих и из соотношения

Координаты вектора у в исходном базисе могут быть найдены по следующим формулам, которые вытекают из (167):

(170)

Пример 1.

Рассмотрим следующую схему вычислений.

Под данной матрицей А выписываем строку из координат вектора х: а, b, ..., l. Этими числами задаемся произвольно (при одном лишь ограничении: по крайней мере одно из этих чисел отлично от нуля). Под строкой а, b, ..., l пишем строку т. е. координаты

вектора Ах. Числа получаются путем последовательного умножения строки а, b, ..., l на строки данной матрицы А. Так, например, и т. д. Под строкой a1,b1, ..., l1, пишем строку а2, b2, ..., l2 и т. д. Каждая из приписываемых строк, начиная со второй, определяется путем последовательного умножения предыдущей строки на строки данной матрицы.

Над строками данной матрицы выписываем контрольную суммарную строку

В данном случае мы имеем регулярный случай, поскольку

Определитель Крылова имеет вид

Раскрывая этот определитель и сокращая на —16, найдем:

Обозначим через собственный вектор матрицы А, соответствующий характеристическому числу λ0=1. Числа найдем по формулам (169):

Контрольное равенство —1 • λ0 + 1 = 0 удовлетворяется.

Полученные числа располагаем в вертикальном столбце параллельно столбцу векторов Помножая столбец на столбец а1,а2,а3,а4, мы получим первую координату а' вектора у в исходном базисе ; аналогично получаем b', с', d'.

Находим координаты (после сокращения на 4) вектора у: 0, 2, 0,1. Аналогично определяем координаты 1,0, 1,0 собственного вектора z для характеристического числа λ0= —1.

Далее, согласно (160) и (161)

где

Пример 2. Рассмотрим ту же матрицу А, но в качестве исходных параметров возьмем числа а = 1, b = 0, с = 0, d= 0.

Но в данном случае

и р = 3. Мы имеем дело с особым случаем.

Беря первые три координаты векторов определитель Крылова записываем в виде

Раскрывая этот определитель и сокращая на —8, получим:

Отсюда находим три характеристических числа: Четвертое характеристическое число получим из условия, что сумма всех характеристических чисел равна следу матрицы. Но Sp А = 0. Поэтому λ 4 = —1.

Приведенные примеры показывают, что при применении метода Крылова, выписывая последовательно строки матрицы

(171)

нужно следить за рангом получаемой матрицы с тем, чтобы остановиться на первой сверху] строке, которая является линейной комбинацией предыдущих. Определение ранга связано с вычислением известных определителей. Кроме того, получив определитель Крылова в виде (159) или (166), для раскрытия его по элементам последнего столбца следует вычислить известное число определителей (р — 1)-го порядка [в регулярном случае (п — 1)-го порядка].