Дискретно-непрерывная математика (стр. 96 )

тангенсной аналогии спрямлённой стрелы собственного времени

(97А)

На рис. 2 А (2) и (4) представлены варианты как для исходной прямо­линейной, так и для исходной гиперболической стрелы собственного времени. В последнем случае есть неинерциальная система. Мировая линия в этом координатном пространстве описывает движение наблюдателя N1 в обратном направлении.

Ранее, когда формально использовалась эта аналогия, преобразо­вание самого пространства не осуществлялось. Теперь же перекрёстные подпространства подвергнуты сферической квазиортогонализации; общий угол наклона стал истинным: где Но правило суммирования согласованных углов, по-прежнему, рас­пространяется только на гиперболические yглы:

(98А)

где cos α= ± 1.

Мировая линия в специальном квазиевклидовом пространстве имеет квазиевклидову протяжённость - времениподобный инвариант преобразования defh Г = rot Ф (Г), аналогично пространствуподоб-ному инварианту (57А):

(99А)

Равномерное прямолинейное движение описывается прямой с углом наклона φ=φ(γ)=const как бы в обычном квазиевклидовом пространстве (гл.8А). Равномерно ускоренное прямолинейное движение описывается косинусоидой (96А). Для него при неуклонном возрастании времени собственное расстояние стремится сверху к функции

В собственном квазидекартовом базисе кинематическая косинусоида располагается ниже нерелятивистской кинематической параболы от τ и фокальной касательной, но выше касательной окружности [рис. 2А (4)]:

(100А)

где справа |сτ| ≤ |R|, причём

Имеем тригонометрический эквивалент этого неравенства:

Отметим, что в псевдодекартовом и квазидекартовом базисах мировые линии равномерно ускоренного движения располагаются по разным сторонам относительно кинематической параболы. При угле движениясобственная скорость v* достигает

значения «с» и далее преодолевает его при Для

кинематической гиперболы этот угол соответствует фокусу. Фокальное значение координатной скорости составляет Координаты фокальной точки в обоих базисах (в псевдоплоскости и в квазиплоскости) выражаются через гиперболический радиус в виде:

Гиперболическое движение характеризуется также постоянной гиперболической угловой псевдоскоростью:

(101А)

Ось гиперболической ротации в этом случае пространству подобна, псевдоевклидово ортогональна псевдоплоскости ротации и проходит через центр О [рис. 2А (3)]. Фокальные касательные соответствуют скоростям vF и vF* = с, а также углам наклона ω и φ(ω) = π/4. Использу­емая в формулах СТО скорость света — координатная характеристика. Собственная скорость света в вакууме с* бесконечна.

Классический принцип соответствия в математической трактовке здесь проявляется в том, что кинематические гипербола и парабола в точке О1 [рис 2А (3)] имеют одну и ту же касательную окружность радиуса R. Это тождественно тому, что три указанные кривые в точке О1 имеют одинаковые производные первого (в данном случае нулевые) и второго порядка. Следовательно, кинематическая парабола, аппроксимирующая гиперболу в окрестности начальной точки О1 (в нерелятивистской области), имеет тождественный ''параболический радиус" в координатах Минковского исходя из соотношения:

* * *

В тригонометрической форме представляются и динамические релятивистские характеристики. С использованием дифференциальных соотношений одновременности (84А), (85А) для общего случая поступательного физического движения материального тела устанавливаются тригонометрические скалярные, векторные и тензорные координатные отображения для его инерционной массы, импульса и энергии с точки зрения наблюдателя в исходном универсальном базиса При математическом описании посту-

пательного физического движения материального тела последнее сводится к таковому для его центра массы как некоторой абстрактной материальной точки. Согласно 2-му закону механики Ньютона, имеем:

(Причём в первой вышеуказанной форме только для мгновенного собственного псевдодекартового базиса, где m = m0 = const.) Это ковариантная форма 2-го закона Ньютона, где одна и та же собственная сила F в системахопределяется исходя из одновременности, согласно (84А), (85А), в одной и той же мировой точке массы М. Мощность от действия собственной силы также в форме механики Ньютонаввыражается в виде:

(Оба уравнения в физической форме впервые получены Пуанкаре.)

Отсюда далее в определяются скалярные значения реляти­вистских динамических характеристик: полной массы m = ch γ∙m0, кинематического импульса полного

импульсаи полной энергии

Следовательно, скалярные значения полных массы, импульса и энергии суть косинусные гиперболические проекции собственных характеристик:

Причём первые приближённые значения ограничивают характе­ристики сверху, а вторые - снизу, что следует из тригонометрического неравенства

Указанные три релятивистские полные характеристики имеют одинаковое теоретическое значение, так как они прямо пропорцио­нальны друг другу. В состоянии относительного покоя (при р = 0) любой материальный объект имеет собственный импульс Р0 = m0с и собственную эйнштейнову энергию E0 = m0c2. Происхождение этой пары динамических характеристик материального тела (в состоянии относительного покоя) может объяснить постулат, согласно которому все материальные объекты совершают перманентное движение в <Р3+1> вдоль своих мировых линий с постоянной псевдоскоростью «с». (Подробнее это обсуждается в последней главе 10А.)

К вышеуказанным скалярным значениям динамических харак­теристик привели изначальные законы классической механики Ньютона, записанные с учётом релятивистского сложения скорости физического движения. В тригонометрической трактовке понятию "физическая скорость" отвечают гиперболический угол движения и его тригонометрические функции.

Но последние в релятивистском смысле имеют тензорный характер. Они представляются в <Р3+1> как двухвалентные тензоры в целом и как одновалентные тензоры — векторы в виде смешанных проекций. Следовательно, для тех же динамических характеристик в теории относительности наряду со скалярными существуют векторные и тензорные формы, получаемые соответствующей модификацией вышеприведённых уравнений механики Ньютона. Матрица гипербо­лического ротационного преобразования (364). (31 А) в имеет вид:

Это гиперболически ортогональный тригонометрический тензор движения. Если вышеуказанный материальный объект с точки зре­ния наблюдателя в исходном универсальном базисе совершает поступательное физическое движение с мгновенной скоростью

или то в том

же базисе определяются три мгновенных сопутствующих тензора: тензор полной инерционной массы, тензор полного импульса и тензор полной энергии (плюс их смешанные векторные проекции):

Например, последний из указанных известен как тензор энергии-импульса. В физической форме в он определяется в виде