Дискретно-непрерывная математика (стр. 86 )

Это специальный математический принцип относительности, действующий в любой плоской (квадратичной) геометрии, в частности, в псевдоевклидовой геометрии Минковского. Применительно к СТО ему тождествен специальный физический принцип относительности Пуанкаре. Он заключается в форминвариантности физических законов в равномерно и прямолинейно движущихся системах отсчёта (вплоть до околосветовых скоростей), или относительно преобразований Лоренца. Оба принципа связывает физико-математический изоморфизм.

Ротационные преобразования Лоренца в активной форме оставляют инвариантными в целом каждую полость изотропного конуса и сам конус. Но при этом собственные подпространства неинвариантны и преобразуются активно вместе с базисом. Хотя они вместе со своими координатными осями всегда находятся в своих полостях изотропного конуса - внешней и внутренней. Кроме того, преобразуются активно так, что всегда составляют прямую сумму и остаются гиперболически ортогональными друг к другу. Поэтому одноиндексные относительны, но взаимозависимы как ортогональные дополнения в псевдоевклидовом пространстве. В соответствии с (462) каждое из них является взаимно-однозначной функцией от другого. В СТО это соотношение даёт математическую формулировку закона Пуанкаре - Эйнштейна об относительности, взаимозависимости и единстве пространства и времени (n = 3, q = 1). Но само псевдоевклидово пространство <Р n+q>, как и пространство-время Минковского— в целом абсолютно, то есть оно инвариантно по отношению к преобразованиям Лоренца (как множество точек данной структуры).

В четырёхмерном пространстве-времени Лагранжа законы

нерелятивистской физики (механики), выраженные в инерциальных системах отсчёта, как и соответствующая евклидово-афинная геометрия в нём, инвариантны по форме к преобразованиям Галилея. Это специальный принцип относительности Галилея в общей физико-математической форме. С математической точки зрения пространство-время Лагранжа — бинарное евклидово-аффинное пространство

с допустимыми в нём преобразованиями Галилея. Пространство-время Лагранжа в целом абсолютно, то есть инвариантно относительно последних (как множество точек данной структуры). По отношению к активным однородным преобразованиям Галилея евклидово подпространствов целом и скалярное время t

тоже инвариантны; но стрела временинеинвариантна (каждый раз это какая-либо мировая линия). Она претерпевает, в том числе возможно на дифференциальном уровне, особое линейное преобразование -параллельную ротацию относительно (сочетающее поворот на

угол φ от исходнойи компенсационное растяжение с коэффициентом sec φ). Данная ротация как бы промежуточна между сферической и гиперболической. Кроме того, могут смещаться на вектор

параллельного переноса. Евклидово подпространство и время обра­зуют здесь единство, так как составляют прямую сумму, но они не взаимозависимы. Евклидово-аффинная геометрия по форме своих утверждений никак не связана с выбором конкретного бинарного декартово-аффинного базиса за исходный единичный базис. В универ­сальном базисе как принято ранее, четыре координатные оси ортонормированы. Допустимые базисы связаны общими непрерыв­ными преобразованиями Галилея. Отметим, что евклидово-аффинная геометрия пространства-времени Лагранжа (индекса 1), отвечающая принципу относительности Галилея, тождественна "параболической" геометрии Клейна из его знаменитой Эрлангенской программы. (Это было установлено в XX столетии в ряде математических исследований по неевклидовым геометриям и их связям с физикой. С другой стороны, в <Р n+1> при общих непрерывных преобразова­ниях Лоренца тензорные объекты подвергаются относительно базиса согласованным с рефлектор-тензором элементарным ортосферической и гиперболической ротациям, а также операции параллельного переноса. При этом исходные пространственные образы объектов подвергаются элементарной гиперболической деформации.

Именно гиперболические ротации и деформации с тригоно­метрической точки зрения ответственны за релятивистский характер преобразований Лоренца - Пуанкаре - Эйнштейна в абсолютном четырёхмерном пространстве-времени Минковского. Гиперболические ротации и деформации в элементарных канонических формах (363), (365) выражаются в универсальном базисе как в исходном, то есть как базисе своего действия.

Между ротационной тригонометрией в псевдоевклидовом пространстве Минковского, гиперболической геометрией на гипер­болоидах Минковского I и II и гиперболической неевклидовой геометрией в сопутствующих пространственных топологических фор­мах устанавливается отношение изоморфизма. Между сферической и гиперболической неевклидовыми геометриями на основе сферическо-гиперболической аналогии абстрактного типа устанавливается формальная взаимосвязь, позволяющая увязать их собственные движения в единой теории в рамках тензорной тригонометрии надпространств <Р n+1> и <Q n+1>

Вышеизложенное позволяет создать как отдельное приложение тензорные тригонометрические модели кинематических преобразо­ваний в теории относительности, а также движений в гиперболической и в сферической (эллиптической) неевклидовых геометриях.

Приложение

Тригонометрические модели движений

в неевклидовых геометриях и

в теории относительности

Введение

В Приложении излагается конкретное применение тензорной три­гонометрии в элементарных ротационной и деформационной формах к теоретическому анализу движений в неевклидовых геометриях и в теории относительности. Поясним вкратце его содержание.

На основе сферическо-гиперболической аналогии конкретного типа показан геометрический смысл сферического угла параллельности Лобачевского, проявляемый внешним образом в псевдоевклидовом пространстве Минковского исключительно в универсальном базисе. В СТО этот базис отвечает относительно неподвижному инерциальному наблюдателю. В отличие от своего сферического аналога-функции гиперболический угол движения имеет исконный (неискажённый) геометрический смысл в любых псевдодекартовых, или инерциальных базисах. (Глава 1А.)

Определены канонические формы тригонометрических тензоров основного движения и деформации. Показано, что именно эти тензоры обуславливают математически релятивистские эффекты замедления времени и сокращения протяжённости для движущихся объектов. Выявлены компоненты (по две проекции) этих эффектов с надлежащей тригонометрической и физической интерпретацией. (Главы 2А - 4А.)

С целью суммирования двух или любого иного количества движений (скоростей), а также для его тригонометрического анализа использу­ется полярное разложение общего (суммарного) тензора движения. Закону суммирования движений (скоростей) придана генеральная форма, полученная в соответствии с правилом последовательного применения линейных преобразований. Изучены четырёхмерные тензорные тригонометрические модели кинематики и динамики СТО.

Показана взаимосвязь между конкретными тригонометрическими характеристиками и хорошо известными физическими параметрами движущихся объектов - как инерциально, так и неинерциально в пространстве-времени Минковского. Изложена трактовка физического движения как гиперболической ортопроекции абсолютного движения по мировым линиям. Получен релятивистский гиперболический аналог формулы Циолковского. (Главы 5 А и 7А.)

В рамках изоморфного преобразования псевдоевклидова прос­транства Минковского в специальным образом сжатое квазиевклидово пространство получены гиперболические отображения, определяющие трактрису и псевдосферy Бельтрами как подобные однопараметричес-кие фигуры в своих классах. (Глава 6А.)

Установлена теорема о приведении суммы двух движений к би-ортогональной (квадратичной) форме - коммутативной для евклидовой и некоммутативной для неевклидовых геометрий. Установлены формулы вычисления и общая тригонометрическая интерпретация для особой ортосферической ротации (по физической терминологии буста) неточечных объектов, в том числе координатного базиса, возникающей при неколлинеарном (негеодезическом) движении. Частный случай её описывает известная скалярная формула Зоммерфельда для прецессии Томаса при ортогональном суммировании двух скоростей. Доказана тождественность угла ортосферической ротации и сферической угловой девиации Гаусса - Бонне для двумерных замкнутых геометрических фигур, образуемых суммируемыми геодезическими отрезками на гиперболоидах Минковского или на гиперсфероиде - поверхностях постоянного радиуса. Для геометрических объектов квазиевклидова или псевдоевклидова пространства с индексом «1» возможно бес­конечное множество разнообразных проективных преобразований. Показано, что любые тригонометрические проективные отображения гиперсфероида и гиперболоидов Минковского I и II на проективную гиперплоскость или на проективный гиперцилиндр дают модели сферической и двух сопутствующих гиперболических геометрий. Для отображения движений в модели Клейна (внутри и вне абсолюта) тригонометрическим методом вычислены все коэффициенты искажения неевклидовых расстояний и углов. (Главы 7А и 8А.)