Дискретно-непрерывная математика (стр. 83 )

В свою очередь, для односвязного гиперболоида I тождественность псевдоевклидовой меры и меры Ламберта объясняется тем, что внешняя гиперболическая геометрия на нём изоморфна в целом (а, следовательно, и в малом) внутренней цилиндрической гиперболической геометрии. Цилиндрическое гиперболическое пространство отличается от прос­транства Лобачевского-Больяи с той же метрикой только в большом, а именно тем, что оно топологически эквивалентно цилиндрическому евклидову пространству или наиболее общо - аффинному цилиндру.

Обе гиперболические геометрии с цилиндрической топологией центральными проективными преобразованиями приводятся к одной и той же форме - модели Клейна вне овального абсолюта Кэли. Для внешней геометрии на гиперболоиде I модель Клейна (вне абсолюта) есть её центральное проективное отображение (рис.4) на проективную гиперплоскость

С тригонометрической точки зрения модель Клейна (вне абсолюта) есть её котангенсное отображение в векторной форме cos αk = constk), или котангенсная проекция на централизованную В другой, тангенсной цилиндрической модели, ортогональной предыдущей, тангенсная проекция отображается на боковую гиперповерхность централизованного гиперцилиндра с радиусом R и с высотой 2R, расположеного между двумя овальными абсолютами. Для цилиндрической гиперболической геометрии модель Клейна (вне абсолюта) есть её центральное проективное отображение на указанную гиперплоскость а цилиндрическая модель есть её последующее

гомеоморфное отображение на цилиндрическую евклидову гиперповерхность радиуса R. Все отображения в модели Клейна (вне абсолюта) по отношению к гиперплоскости проектирования - двухсторонние и односвязные. Последнее свойство обусловлено непрерывностью отображения гиперболоида I на обе стороны области гиперплоскости находящейся вне абсолюта. (Топологическая связь между обеими этими сторонами модели Клейна осуществляется через бесконечно удалённую условную границу проективной гиперплоскости Для цилиндрической модели это же утверждение вполне очевидно. Гиперболоид I и соответственно цилиндрическое гиперболическое пространство аналогично, но не топологически разделяются на две половинные части - с положительным и с отрицательным направлением осиЦилиндрическая модель также разделяется пополам гиперплоскостьюВыбор знака для углов движений Г и γ осуществляется, согласно вышеуказанной схеме, с учётом направления оси (по знаку dy). В модели Клейна вне овального абсолюта на проективной гиперплоскости <действует проективная мера в котангенсной форме «R∙cth a/R», отождествляемая с евклидовой мерой. При R→∞ гиперболоид I и цилиндрическое гиперболическое пространство вырождаются вместе с абсолютом в бесконечно удалённую границу проективной гиперплоскости. В цилиндрической модели на внутренней области между двумя овальными абсолютами на проективном гиперцилиндре действует проективная мера в тангенсной форме, а именно как «R∙th a/R», отождествляемая с евклидовой мерой. Если а→0, то γ = a/R →0 ипри этом меры Ламберта и Евклида совпадают. В этом отображении (n—1)-мерный центральный пояс гиперболоида I и цилиндрической модели (радиуса R) является автоморфизмом. Причём в модели Клейна вне абсолюта ему соответствует бесконечно удалённая граница проективной гиперплоскости.

Кроме того, гиперболоид I и цилиндрическое гиперболическое пространство, в принципе, возможно отобразить изометрично в целом на гиперпсевдосферу Бельтрами с теми же параметрами n и R. При этом последняя рассматривается как топологически односвязная гиперповерхность (эквивалентная цилиндрической гиперповерхности). Гиперболическая геометрия на её верхней и нижней частях увязывается воедино с положительными, нулевым и отрицательными значениями угла γ. (Доказательство данного изоморфизма приводится в главе 6А Приложения.)

Уравнение овального абсолюта для всех вышеуказанных гиперболических геометрий (2-х внешних и 2-х внутренних) одно и то

же:Сумма 2-х сопутствующих неевклидовых пространств

и разделительного изотропного конуса отображается двухсторонне на всю проективную гиперплоскость Точно также сумма двух

гиперболоидов Минковского и изотропного конуса отображается двухсторонне на всю Данная конструкция в <Pn+1>, состоящая

из гиперболоидов I и II Минковского, в том числе в её тангенсно-котангенсном отображении на проективную гиперплоскость или в её тангенсном отображении на проективный гиперцилиндр по сути олицетворяет некое трёхсвязное гиперболическое пространство. Его внешняя, односвязная часть трактуется как гиперболическое неевклидово пространство с парой антиподных «чёрных дыр». Роль последних выполняют антиподные пространства Лобачевского — Больяи.

В моделях Клейна оба сопутствующие гиперболические прос­транства трансформируются в области проективной гиперплоскости внутри и вне абсолюта радиуса R. С учётом последнего факта, если прямые (геодезические) и их формальные продолжения в односторонних тангенсно-котангенсных моделях Клейна (внутри и вне абсолюта) рассматриваются вместе, то тогда их смежная параллельность в сопутствующих пространствах обусловливается на проективной гиперплоскости пересечением в какой-либо точке

абсолюта (рис. 4). В цилиндрической модели оба сопутствующие гиперболические пространства трансформируются в два основания и в боковую поверхность проективного гиперцилиндра. Диаметр и высота этого гиперцилиндра равны 2R.

Обе сопутствующие геометрии вместе с геометрией изотропного конуса целесообразно, на наш взгляд, трактовать как единую гипер­болическую геометрию с группой Лоренца, задаваемой рефлектор-тензором в псевдоевклидовом пространстве Минковского.

Гиперболическая траектория, или геодезическая (прямая) на гиперболоидах I и II всегда представима как их сечение некоторой централизованной псевдоплоскостью. Ей же тождественна собственная псевдоплоскость тензорного угла Г в ротационной матрице в которой проецируются тригонометрические функции тангенса и котангенса. (Именно в этом состоит причина прямолинейности проекций геодезических в обеих моделях Клейна!) При этом гиперболический угол в матрице может быть задан параметрически через псевдоевклидову длину геодезической: γ = a/R и Г = A /R. В модели Клейна внутри абсолюта это сечение-геодезическая вместе с псевдоплоскостью (в границах сечения) проецируется в евклидов отрезок прямой, проходящей через круг (2-х мерный вариант) или шар (3-х мерный вариант) в овальном абсолюте. Геодезическая в целом отображается соответствующей хордой. Заметим также, что углы между геодезическими в модели Клейна не искажаются при условии, что проективные прямые (для гиперболоида II) или их формальные продолжения (для гиперболоида I) встречаются в центре абсолюта. Для гиперболоида II это тождественно принадлежности его центрального элемента и, (рис. 4) пересекающимся геодезическим. В данном случае матрица ротации симметрична и имеет

каноническую форму (363), задавая движение центрального исходного элемента u1 по централизованной геодезической. Для произвольного элемента этого гиперболоида ротационная матрица

преобразуется координатно пассивно из симметричной, а именно как

задавая его движение по произвольной

геодезической. Здесь и выше излагается общий подход к изучению гиперболических движений в обеих сопутствующих неевклидовых геометриях как некоторого тригонометрического подмножества преобразований Лоренца, то есть с применением тензорной тригоно­метрии объемлющего псевдоевклидова пространства.

Если геометрический центр хорды исходя из центра проектирова­ния принять за точку начала отсчёта функции th γ < +1 (условно справа) и th γ > - 1 (условно слева), то евклидово расстояние по внутренней хорде-геодезической в модели Клейна внутри абсолюта связано с истинным псевдоевклидовым или неевклидовым расстоянием мерой Ламбертапо формуле

Соответственно евклидово расстояние по внешней хорде-геодезической в модели Клейна вне абсолюта связано с неевклидовым расстоянием соотношением:

Обе формулы получены тригонометрическим способом, но из­начально они исходят из проективного мероопределения Кэли - Клейна. (Формула искажения сферического угла между прямыми в модели Клейна в гиперболической трактовке дана в гл. 7А Приложения.)