Дискретно-непрерывная математика (стр. 52 )

12.3. Предельный метод решения векового уравнения с вещественными корнями

Малые и большие медианы связаны системой модифицированных уравнений Ньютона и модифицированной рекуррентной формулой Варинга—Леверье, например прямого типа - аналог формулы (2), где при

где

Предельные формулы (18) и (19) могут использоваться для по­следовательного вычисления всех корней алгебраического уравнения при условии, что все они - вещественные. Кратность каждого корня может находиться в процессе сокращения. Однако целесообразно предварительно отделить лишние корни, используя 1-ю производную и алгоритм Евклида. С применением метода Штурма и априорных границ вещественных корней (±∞) устанавливают их вещественность. Кроме того, вещественные корни уравнения, как известно, удовлетворяют неравенству для знакопеременной формы уравнения:

где ∆(-) — граница отрицательных корней, ∆(+) - граница положительных корней, h, и h2 - индексы первых отрицательных коэффициентов kj и (-1)j∙ kj.

Предельный метод решения алгебраического уравнения сводится к следукшему. Пусть уже известно, что корни уравнения - вещественные неотрицательные числа. В частности, это суть собственные значения положительной матрицы типа АА'. Первый этап - вычисление сумм Виета и характеристических сумм Варинга вплоть до порядка r. Например, для матриц используется рекуррентная формула Варинга - Леверье прямого типа (2), а для самостоятельного уравнения обрат­ного типа, которая при 0>r имеет вид:

Откуда далее последовательно вычисляются средние степенные:

Причём приближение к цели идёт именно снизу, согласно неравенству (10). Очевидно, что скорость процесса тем выше, чем более различны корни уравнения между собой. Подставив в вышеуказанную рекуррентную формулу предельное значение (18) и сократив общий множитель получим исходное уравнение как тождество.

Именно поэтому на каком-то этапе вычисления обрываются из-за неминуемой ошибки округления. Так находится максимальный корень. Минимальный ненулевой корень, согласно (19), можно вычислять аналогично, используя реверсивную форму алгебраического уравнения, то есть поделив исходное уравнение на хn и старший коэффициент аn.

Если корни уравнения - точные рациональные числа, то в процессе последовательного приближения у результата неизбежно появляются цифровые периоды после некоторой значащей цифры. Исходя из этого вычисляется точное значение корня с проверкой по заданному уравне­нию. Иррациональные корни вычисляются с задаваемой степенью точности. Таким образом, применяя соответствующий алгоритм, по­следовательно находят все корни алгебраического уравнения. Обратим внимание на то, что изложенный метод, близкий по идее к методу Лобачевского - Греффе (1834г), по сути, имеет глобальный характер. Все исходные расчётные характеристики в нём строго предопределены.

Если же уравнение имеет вещественные знаконеопределённые кор­ни, то вначале сместим аргумент, например, в область положительных корней, но, по возможности, меньше - для большей скорости сходи­мости. Априори, как известно, вещественные собственные значения имеют вещественные симметричные матрицы S = S' и мнимые кососимметричные матрицы где К' = — К вещественные.

Для вещественной В это могут быть соответствующие характери­стические матрицы:

В случае - нормальная матрица.

Тогда они вместе приводятся к диагональной форме. Их собственныезначения суммируются для суммы этих матриц. Следовательно, решая отдельные уравнения для (последнее - биквадратное), можно получить также отдельно вещественные и сопряжённые мни­мые части комплексных собственных значений матрицы М. Далее остаётся сделать подбор соответствующих пар путём проверки на вековом уравнении для М

Аналогичный подход с использованием эрмитова сопряжения распространяется на комплексные матрицы. Среди них априори вещественные собственные значения имеют эрмитовы матрицы. Для комплексной эрмитово нормальной матрицы используется разло­жение:

Таким образом, множество матриц, которые априори подходят для использования предельного метода, включает вещественные нормальные матрицы и комплексные эрмитово нормальные матрицы. Пусть для матрицы или для уравнения с вещественными корнями используется метод смещения. Тогда для знакопеременной формы уравнения нижняя граница отрицательных корней удовлетворяет неравенству:

После подстановки получаем уравнение с положительными

коэффициентами и корнями. (Проверяется методом Штурма в интер­вале +∞÷0) Для матрицы преобразование смещения трактуется как

B→{B-∆(-)∙1}.

Альтернатива вышеуказанному методу смещения для матриц с вещественными знаконеопределёнными собственными значениями: возведение матрицы в квадрат, далее вычисление квадратов собствен­ных значений и затем подбор их знаков по вековому уравнению для исходной матрицы.

В случае вещественности и положитечьности всех корней алгебраического уравнения максимальный корень в явной форме теоретически выражается как

(20)

Согласно признаку Сильвестра, для положительной определённости симметричной или эрмитовой матрицы необходимо и достаточно, например, чтобы детерминанты всех угловых миноров были положительные. Поскольку последний из них — детерминант мат­рицы, то это означает и её несингулярность. С другой стороны, для неотрицательности тех же, но сингулярных матриц необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты векового уравнения вплоть до порядка r были положительные и при t > r нулевые. Это следует из правила знаков Декарта и вещественности корней. Из вышесказанного можно сделать вывод, что элементы нормальных матриц содержат достаточно первоначальной информации, чтобы решить задачу об отыскании их собственных значений, сведя её к алгебраическому уравнению с положительными корнями, (что требуется для предельного метода)ю Решение аналогичной задачи для матриц более общего вида или для самостоятельного алгебраического уравнения при n>4 зависит от ответа на вопрос: "Имеет ли вещественное алгебраическое уравнение комплексные сопряженные корни или нет?" Выше было указано, что точный ответ на него всегда можно получить с помощью метода Штурма. Однако этот метод не даёт необходимых и достаточных условий, которым вообще должны удовлетворять коэффициенты уравнения для вещественности всех его корней или с учётом метода смещения — для положительности всех корней.

Первоочередное необходимое условие положительности и, вместе с тем, вещественности всех корней, согласно признаку Декарта, заключается в положительности всех коэффициентов (для знакопеременной формы алгебраического уравнения). Однако это не гарантирует, что не имеется пар комплексных сопряжённых корней. Например, при выборе ещё большего параметра смещения можно гарантировать только то, что вещественные их части будут положительные.

Согласно цепи (11) генерального неравенства средних, для алгеб­раического уравнения с вещественными положительными корнями различные медианы могут совпадать, причём всегда вместе, тогда и только тогда, когда уравнение имеет биноминальную форму

При отличии хотя бы двух корней друг от друга коэффициенты уравнения уже не соответствуют биноминальному ряду, при этом действует неравенство (11). Например, совпадение каких-либо сосед­них медиан, обнуление коэффициентов до t = r, нарушение иерархии медиан — это отклонения, которые свидетельствуют о том, что уравне­ние с неотрицательными коэффициентами имеет комплексные сопря­жённые корни.

Поэтому более строгое необходимое условие вещественности и положительности корней уравнения заключается как в поло-житетьности его коэффициентов, так и выполнении цепи (11) генерального неравенства или любого отрезка цепи из v медиан.

Заметим также, что для любой алгебраической медианы при условии в силу (10)

гдеи хотя бы два элемента различны, а количество

ненулевых элементов больше i.

12.4. Структура и основные свойства скалярных и матричных харак­теристических коэффициентов

Пусть О — нильпотентная матрица, коммутирующая с В. Тогда

(21)

(22)