Дискретно-непрерывная математика (стр. 90 )

Одна и та же стрела времениили прямая мировая линия как в верхней, так и в нижней полости изотропного конуса определяется одной и той же матрицей roth Г. Это физически соответствует одному и тому же вектору скорости, а геометрически выражается как движение:

(22А)

(Последнее выражение дано для антиподной гиперболической геометрии.) С другой стороны, симметричная ей относительно стрела времени или прямая мировая линия определяется обратной матрицей. Это физически соответствует аддитивно противоположному вектору скорости, а геометрически выражается как движение:

(23 А)

(Последнее выражение дано для антиподной гиперболической геометрии.) Обратим внимание на то, что в обоих равенствах формально значение γ положительно для направления материального движения по стреле времени и отрицательно для направления мысленного движения против стрелы времени (то есть в данном случае реперной оси для отсчёта угла ротации). Из (21 А) следует, что в <Р1+1> координатная скорость физического движения в выражается

тригонометрическим способом через соотношение:

(24А)

где В самом же общем случае вектор скорости характеризу-

ется модулем и направляющими косинусами: cos α1, cosα 2 и cos α3. Его три ортопроекции в тригонометрической форме имеют вид:

(25А)

где

При описании физического движения со скоростью v в псевдо­плоскости ротации <Р1+1> в координатах новые координатные оси х и отклоняются на один и тот же гиперболический угол В универсальном базисе имеет место сферическо-гиперболическая аналогия конкретного типа, например тангенс-тангенсная или синус-тангенсная:

То есть при указанной формализации простых физических движе­ний относительно неподвижного наблюдателя, в принципе, безразлично какую тригонометрию применять для описания — гиперболическую или сферическую. Но при формализации комбинированных физических движений, например, таковых относительно подвижного наблюдателя, многоступенчатых и интегральных движений применяется только первая. То же относится к основным движениям в гиперболической геометрии - простым и многоступечатым.

Так, например, сферический угол параллельности Лобачевского П (a/R), широко используемый в гиперболической неевкли­довой геометрии как угловой аргумент, имеет геометрический смысл исключительно в универсальном базисе и для простых движений в отличие от гиперболического угла-аргумента γ = a/R, определяемого корректно внешним образом в любом псевдодекартовом базисе:

(26А)

где согласно (331), (356). При

движении по геодезической (гиперболе) из центра гиперболоида II угол параллельности Лобачевского, выраженный в универсальном базисе, уменьшается от π/2 до П (γ).

В заключение данной вводной главы отметим, что изначальный математический подход Пуанкаре является исчерпывающим для логически безупречного построения СТО. С другой стороны, изначальный физический подход Эйнштейна к этому на основе известных двух постулатов таким свойством не обладает - равно как только из экстремума в любых системах отсчёта и математического принципа относительно­сти невозможно построить гиперболическую тригонометрию. Исходя только из последних двух положений (эквивалентных постулатам Эйнштейна), в принципе, можно построить логически безупречным образом бесконечное множество тригонометрии (геометрий постоянно­го радиуса R) и их квазифизических изоморфизмов с псевдогёльдеровой (неквадратичной при р≠ 2) метрикой:

Задание именно псевдоевклидовой метрики (р = 2) было осуществлено Эйнштейном неявным образом при аксиоматическом определении им же понятия одновременности. (Определение одновременности по Эйнштейну есть теорема геометрии Минковского - см. в гл. 4А.)

Глава 2А. Тензорная тригонометрическая модель однородных преобразований Лоренца

В пространстве-времени Минковского исходные и новые координаты мировой точки в инерциальных системахсогласно (21 А), или

в четырёхмерной форме как вв той же псевдоплоскости ротации

связаны пассивным модальным ротационным преобразованием гиперболического типа:

(27А)

(Тригонометрические однородные преобразования координат пространства и времени Пуанкаре — Минковского.) Здесь дополни­тельно используется множитель cos α = ± 1, определяющий направление вектора тангенса. С учётом (24А) они же приобретают физическую форму однородных преобразований координат Лоренца:

Используя гиперболическую ротационную модальную матрицу с общей канонической структурой (363) в получаем генеральные тригонометрические преобразования координат в четырёхмерной форме (к = 1,2, 3):

(28А)

Те же тригонометрические преобразования в векторной форме:

(29А)

где - вектор направляющих косинусов скорости движения

или вектора тангенса;

Генеральные тригонометрические преобразования координат (29А), если использовать сравнение с (27А), трактуются так. Во первых, пространственная проекция х(1) в представляется прямой суммой из релятивистской и нерелятивистской составляющей — параллельной и сферически ортогональной вектору Во вторых, при гиперболической ротации базисав псевдоплоскости пассивному модальному преобразованию подвергаются только временная проекция ct(1) и релятивистская составляющая пространственной проекцииОртогональная составляющая

есть инвариант преобразований Лоренца и Галилея. Далее,

(при физическом движении γ > 0),

(30А)

где γk - частный гиперболический угол междуи проекциейна координатную псевдоплоскостъ Заметим тут же, что

любые тензоры с нулевой четвёртой координатой в псевдодекартовых базисах в <Р3+1>, в том числе векторы тангенса и скорости физического движения, подчиняются формулам евклидовой геометрии в собствен­ном в частности, их модули и проекции удовлетворяют теореме Пифагора. Аналогичные генеральные преобразования координат пространства-времени в физической форме имеют вид:

Преобразования координат в четырёхмерной физической форме вывел Герглотц, используя разложение х(1) вна релятивистскую и нерелятивистскую ортопроекции (принцип Герглотца).

Во всех вышеуказанных преобразованиях координат мировой точки применяется два вида базиса: Первый из них входит во множество универсальных базисов (16А). Понятие универсальный оазис, очевидно, относительно. Оно привязано к конкретному наблюдателю, например, к N1 в системе Напомним, что именно в как правило, выражаются матрицы других псевдодекартовых базисов. Концепция универсального базиса позволяет установить отношение наблюдателя N1 к любому другому псевдодекартову базисуПри этом возможны 3 варианта: