Дискретно-непрерывная математика (стр. 92 )

Рассматриваемый времениподобный феномен — отрезок мировой линии, согласно (32А) и (37А), в базисе имеет ещё проекцию на - пространственный путь объекта, выражаемый как через координатное, так и через собственное время:

Кинематическая характеристика v* определяется здесь как собственная скорость физического движения

(39А)

Все четыре вектора:— коллинеарны. Связь между

проекциями гиперболического угла γk из (30А) и γk' из (35А) видна из соотношений:

В псевдоплоскости гиперболической ротации рассматриваемая задача сводится к решению плоского "внутреннего'" гиперболически прямоугольного треугольника, в котором ∆cτ - гипотенуза «g», ∆l(1) - катет «а» и ∆ct(1) - катет «b» (см. рис. 1 А).

Заметим, что в произведениях (32А), (37А) ротационная гипербо­лическая матрица действует формально в усечённом виде, а именно только своей нижней строкой. Вызвано это тем, что исходный линейный элемент параллелен собственной стреле времени. Очевидно, что для использования матрицы в полном виде исходный линейный элемент должен образовывать некоторый угол γ со стрелой времени Это может иметь место, например, при анализе двух - и многоступенчатых движений (см. далее в гл. 5А и 7А). Тем же тригонометрическим способом устанавливается ещё одна существенная теорема СТО и геометрии Минковского. Она формулируется так: "Из всех мировых линий, соединяющих непрерыв­но точки М' и М" в <Р3+1> , прямолинейный отрезок М'М" имеет максимально возможную псевдоевклидову длину (или собственное время)".

С другой стороны, минимальная (нулевая) длина таковой непрерывной мировой линии имеет место при соединении точек М' и М" световыми отрезками (при условии γ = + со). При этом всегда достаточно двух таких отрезков.

Глава 4А. Лоренцево сокращение протяжённости как следствие деформационного гиперболического преобразования

Во внешней полости изотропного конуса (рис. 1 А) рассматриваются совокупности мировых точек, для которых все межточечные интервалы вещественные, или пространствуподобные. Это тождественно тому, что все мировые точки в данной совокупности принадлежат некоторому евклидову подпространству В соответствующем ему базисевсе эти точки имеют одну и ту же временную координату на стреле времени Этот пространствуподобный феномен есть мировая фиксация некоторого геометрического объекта (как множества точек евклидова подпространства) в <Р3+1>. Мировая фиксация графическим способом задаёт понятие одновременности множества мировых точек в конкретном базисе с условием возможности её реализации для них. С другой стороны, все мировые точки из данной совокупности принадлежат своим мировым линиям в <Р3+1>. Для геометрического объекта евклидова подпространства, совершающего поступательное физическое движение, мировые линии всех его точек параллельны, что соответствует по направлению собственной стреле времени .

Подпространства гиперболически ортогональны тогда

и только тогда, когда геометрический объект находится в состоянии физического покоя в первом из них. В этом случае вышеуказанные индексы совпадают, а мировая фиксация объекта определяется как собственная.

С математической точки зрения эйнштейново (физическое) опре­деление одновременности, применительно к пространству событий Минковского, является изящной геометрической теоремой в <Р3+1>. В двумерной трактовке: "В треугольнике ABC (рис.1 А), образованном пространствуподобным отрезком АВ и парой встречных световых отрезков АС и ВС, медиана и высота, опущенные из вершины С, тождественны". Следствие: "В вышеуказанном треугольнике ABC основание и медиана принадлежат к двум одноиндексным собственным направлениям данной псевдоплоскости, то есть они гиперболически ортогональны". В более общей четырёхмерной трактовке: "В конусе, получаемом любым эллиптическим сечением изотропного конуса, медиана, опущенная из вершины С, и её трёхмерное основание гиперболически ортогональны. И обратно: высота, опущенная из вершины С, есть медиана". Одновременность мировой фиксации как относительное понятие определяется по отношению или к какому-либо (параллельность ему), или к какой-либо(гиперболическая ортогональность ей).

Собственная мировая фиксация тождественна самому геомет­рическому объекту в состоянии физического покоя. Произвольная мировая фиксация, по определению, есть одновременный срез мировой траектории геометрического объекта в некотором заданном псевдодекартовом базисе Если геометрический объект физически покоится в его мировая траектория в пространстве Минковского

параллельна стреле времениТогда нахождение мировой фикса-

ции объекта всводится к его аффинному проецированию на параллельното есть к его проецированию в перекрёстном базисе . Перекрёстное проецирование в данном случае описывается формально гиперболическим деформационным преобразованием, действующим в той же псевдоплоскости, что и ротация. Но теперь она имеет свойства квазиевклидовой плоскости, так как при данном деформационном преобразовании в ней действует квазиевклидов инвариант, или перекрёстный евклидов инвариант. Геометрический объём мировой фиксации объекта имеет максимальное значение именно для собственной характеристики:

(40А)

В зависимости от размерности геометрического объекта, как хорошо известно, возможны четыре варианта его мировой траектории: линия для объекта размерности 0 (точка); полоса для объекта размерности 1 (стержень); трёх - или четырёхмерный брус для объектов размерности 2 (треугольник, параллелограмм) или 3 (тетраэдр, параллелепипед). Здесь используются простейшие геометрические объекты, сводимые математически к линеорам. Множество всех мировых фиксаций данного объекта тождественно множеству всех пространствуподобных сечений его мировой траектории. В частности, относительно неподвижный наблюдатель N1 фиксирует стержень одновременно как проекцию на параллельно (рис.1А).

Мировые фиксации, как и мировые линии, или траектории, - тензорные понятия валентности 1. Для вышеуказанных простейших геометрических объектов мировая фиксация выражается либо как 4×1-вектор, либо как 4×2-линеор, либо как 4×3-линеор в зависимости от размерности. Если объект физически покоится в то вопределяется его собственная мировая фиксация. В базисеобъекты размерности 1, 2 и 3, приложенные в некоторой мировой точке, выражаются как элементы линейного пространства Минковского.

(41А)

В комбинированном перекрёстном базисеони те же:

(42А)

При деформационных модальных преобразованиях координат этих тензоров в другой перекрёстный базис действует квазиевклидов метрический инвариант:

(43А) (44А)

Этот инвариант схож с евклидовым ввиду имеющейся в сферическо-гиперболической аналогии конкретного типа:

(45А)

Поскольку при определении мировой фиксации применяется перекрёстное проецирование, то для нахождения новых координат тензоров используется деформационная матрица с тем же гиперболи­ческим углом, но обратная по отношению к модальной матрице, связывающей перекрёстные базисы: