Дискретно-непрерывная математика (стр. 34 )

В новых параметрах пучки запишутся так: где Из регулярности пучков вытекает, что можно подобрать числа так, чтобы | | ≠0 и | | ≠0.

Поэтому согласно теореме 1 пучки , а следовательно, и исходные пучки (или, что то же, строго эквивалентны. Таким образом, мы пришли к следующему обобщению теоремы 1.

Теорема 2. Для того чтобы два регулярных пучка были строго эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы эти пучки имели одни и те же («конечные» и «бесконечные») элементарные делители.

В разобранном ранее примере пучки (346) имели один и тот же «конечный» элементарный делитель λ+1, но отличались «бесконечными» элементарными делителями (первый пучок имеет один «бесконечный» элементарный делитель μ2, а второй — два: μ, μ). Поэтому эти пучки и не оказались строго эквива­лентными.

3. Пусть теперь дан произвольный регулярный пучок А + λВ. Тогда суще­ствует такое число с, что Данный пучок представим в виде где и потому Умножим пучок слева на Преобразованием подобия приводим этот пучок к виду

, (347)

(единичные матрицы Е в диагональных блоках правой части (347) имеют соответственно те же порядки, что J0 и J1),

где {J0, J1} — квазидиагональная нормальная форма матрицы — жорданова нильпотентная (т. е. Jl0 = 0 при некотором целом l> 0) матрица, а

Первый диагональный блок правой части (347) умножим на Получим: Здесь коэффициент при λ — нильпотентная матрица ( из Jl0 = 0 следует:)

Поэтому преобразованием подобия этот пучок можно привести к виду

(348)

Здесь E(u) — единичная матрица порядка и, а Н(и) — матрица порядка и, у которой элементы первой наддиагояали равны единице, а остальные элементы равны нулю.

Второй диагональный блок в правой части (347) умножением на J-11, а затем преобразованием подобия может быть приведен к видугде J — матрица, имеющая нормальную форму, а Е — единичная матрица. (Поскольку здесь матрицу J можно заменить любой матрицей, ей подобной, то можно считать, что J имеет любую нормальную форму [например, естественную первого рода или второго рода или жорданову). Мы пришли к теореме

Теорема 3. Произвольный регулярный пучок А + λВ может быть при­веден к (строго эквивалентному) каноническому квазидиагоналъному виду

(349)

где первые s диагональных блоков соответствуют бесконечным элементарным делителямпучка А+λВ, а нормальная форма последнего диагонального блока J+λЕ однозначно определяется конечными элементарными делителями данного пучка.

11.33. Сингулярные пучки.

Переходим к рассмотрению сингулярного пучка матриц с размерами т × п. Обозначим через r ранг пучка, т. е. наибольший из порядков миноров, не равных тождественно нулю. Из сингулярности пучка следует, что всегда имеет место по крайней мере одно из неравенств r < п или r < т. Пусть r < п. Тогда столбцы λ-матрицы А+λВ линейно зависимы, т. е. уравнение

(350)

где х — искомый столбец, имеет ненулевое решение. Каждое ненулевое реше­ние этого уравнения определяет некоторую линейную зависимость между столбцами λ-матрицы А+λВ. Мы ограничимся только теми решениями х(λ) уравнения (350), которые являются многочленами относительно λ, и среди этих решений возьмем решение наименьшей степени ε

(351)

(Для определения элементов столбца х, удовлетворяющего уравнению (350), приходится. решать систему линейных однородных уравнений, у которых коэффициенты при неизвестных линейно зависят от λ. Базисные линейно независимые решения х всегда могут быть выбраны так, чтобы их элементами были многочлены от λ).

Подставляя это решение в (350) и приравнивая нулю коэффициенты при степенях λ, получим:

(352)

Рассматривая эту систему равенств как систему линейных однородных, уравнений относительно элементов столбцов заключаем, что матрица коэффициентов этой системы

(353)

имеет ранг В то же время в силу минимального свойства числа ε для ранговматриц

(354)

имеют место равенства

Таким образом, число ε есть наименьшее значение индекса k, при котором в соотношении имеет место знак <.

Теперь мы сформулируем и докажем следующую фундаментальную тео­рему:

Теорема 4. Если уравнение (350) имеет решение минимальной степени ε и ε > 0, то данный пучок строго эквивалентен пучку вида

, (355)

где

(356)

А — пучок матриц, для которого уравнение, аналогичное (350), не имеет решений степени < ε.

Доказательство теоремы разобьем на три этапа. Сначала дока­жем, что данный пучок строго эквивалентен пучку вида

(357)

где — постоянные прямоугольные матрицы соответственных размеров. Затем установим, что уравнение не имеет решений (λ) степени <ε. После этого мы покажем, что дальнейшими преобразованиями пучок (357) может быть приведен к квазидиагональному виду (355).

1. Первую часть доказательства облечем в геометрическую форму. Вместо пучка матриц А+λВ рассмотрим пучок операторов отображающих Rn в Rm, и покажем, что при надлежащем выборе базисов в этих пространствах матрица, соответствующая оператору будет иметь форму (357).

Вместо уравнения (350) возьмем векторное уравнение

(358)