Дискретно-непрерывная математика (стр. 87 )

Последние две главы Приложения имеют дискуссионный характер и приводятся для завершённости рассматриваемого здесь тригоно­метрического представления движений в теории относительности. Известно, что ОТО в изначальной геометрической интерпретации А. Эйнштейна в силу своих многочисленных противоречий принимается далеко не всеми специалистами в области теории гравитации и небес­ной механики. Иные точки зрения отображены в известных книгах, например: «Новый взгляд на теорию относительности» — М.: Мир, 1972; «Гравитация и относительность» — М.: Мир, 1979, а также в фундаментальных публикациях в научных журналах, например: «Гравитация без принципа эквивалентности» Rev. Mod. Phys., v. 29, p. 363 (1957); «Альтернативный подход к теории тяготения» Annals of Physics v. 16, p. 96 (1961). Поэтому рассмотрение любых обобщений СТО в поле тяготения до сих пор имеет гипотетический характер и подлежит свободному непредвзятому научному обсуждению. Автор исходит из принципа максимальной простоты и непротиворечивости теории общепринятым фундаментальным законам Природы и данным наблюдений.

Показано, что все основные и достаточно хорошо изученные общерелятивистские эффекты, наблюдаемые в Солнечной системе, интерпретируются элементарным образом в базовом пространстве-времени Минковского, связанном с априори инерциальной системой Маха. Последнее отвечает, например, полевой (негеометрической) релятивистской теории гравитации (РТГ). Эта физическая теория как фундаментально обоснованная концепция впервые была изложена М. Боулером (1976 г) в вышеуказанной известной учебной монографии. Аналогичная, но более развёрнутая по содержанию концепция РТГ и именно, как отрицающая ОТО, была развита позднее в публикациях с рядом коллег-соавторов. Данные исследования были подытожены в фундаментальной монографии: «Теория гравитационного поля» - М.: Наука, 2001. В связи с этим здесь показаны дополнительные возможности для применения тензорной тригонометрии в теории относительности. (Глава 9А.)

С использованием изоморфного отображения координат матери­альной точки и её мировой линии из эффективного псевдориманова пространства-времени в базовое псевдоевклидово пространство-время (оба в РТГ имеют топологию аффинного пространства) рассмотрена гравитационно-неискажённая тензорная тригонометрическая модель абсолютного движения в гравитационном поле, в том числе при до­полнительном воздействии сил иной природы. Развит четырёхмерный псевдоаналог классической теории Френе - Серре применительно к мировым линиям в пространстве-времени Минковского. Даны четыре абсолютные локальные скалярные и векторные дифференциально-геометрические характеристики искривлённой мировой линии, которые полностью определяют её конфигурацию, а также кинематику и динамику материальной точки в окрестности каждой собственной мировой точки. Вычислены все три абсолютные кривизны, связанные с мировыми тригонометрическими ротациями (от первого до третьего порядка), и их направления. (Глава 10А.)

Дополнительные обозначения

b - единичный 4-вектор бинормали,

с — скорость света в вакууме (пустоте),

с - 4-вектор псевдоскорости абсолютного движения материи,

- стрела координатного времени в относительно неподвижном (универсальном) базисе

- стрела собственного времени в мгновенном относительно подвиж­ном базисе

е - единичный пространствуподобный вектор,

еα = {cos αk} - единичный вектор 1-го движения,

еβ= {cos βk} - единичный пространствуподобный вектор 2-го движения,

еα= {cos σk} - единичный пространствуподобный вектор суммарного

движения,

е = {cos k} - единичный пространствуподобный вектор суммарного

движения с обратной последовательностью частных движений,

Е - полная энергия,

F — собственная сила в мгновенном базисе

- внутреннее ускорение, его тангенциальная и нормальная проекции,

h — единичный 4-вектор тринормали,

i - единичный времениподобный 4-вектор в <Р3+l>, в том числе вектор

касательной к мировой линии,

К — абсолютная кривизна мировой линии (в данной её точке),

- 4-вектор абсолютной кривизны мировой линии, его тан­генциальная и нормальная проекции,

- евклидово и псевдоевклидово расстояние (длина),

m и m0- масса движущейся и покоящейся материальной точки,

n - единичный (n + 1 )-вектор нормали,

- единичные 4-векторы псевдонормали, её тангенциальной и нормальной проекций,

- единичные 4-векторы квазинормали, её тангенциальной и нормальной проекций,

Р - полный импульс,

р — импульс (количество движения),

R — радиус абсолютной кравизны мировой линии или радиус прос­транства с постоянной кривизной,

t(i) - координатное время в базисе

Т и t - кручение и 4-вектор кручения,

u - 4-радиус-вектор мировой точки в <Рn+1>,

v, v — векторная и скалярная координатная скорость физического

движения,

v*, v* - векторная и скалярная собственная скорость физического

движения,

w - сферическая угловая скалярная скорость,

х(i) — пространственная проекция мировой точки в базисе

х(i)k - пространственная координата мировой точки или материальной

точки в базисе

γ, γ — основной гиперболический угол движения в каком-либо базисев векторной и скалярной формах,

ε - скалярный угол между направляющими векторами 1-го и 2-го

движения,

η — гиперболическая угловая скалярная скорость,

П(γ) — сферический угол параллельности Лобачевского в универсальном базисе

χk = хk(1) - собственная пространственная координата мировой точки,

выражаемая в универсальном базисе

Глава 1А. Пространство-время Лагранжа и пространство-время Минковского как математические абстракции и физическая реальность

Вначале обpатимся к четырёхмерному пространству-времени Лагранжа и рассмотрим в нём условно тригонометрическую

модель кинематики физического движения материальной точки. Как исходную единичную систему координат выберем какой-либо универсальный базис В нём, по определению (в данном

случае), все четыре координатные оси как бы евклидово

ортонормированы. Три пространственные оси составляют евклидову пространствуподобную часть базиса ' (то есть декартов суббазис). Стрела времени есть одномерная направленная времениподобная аффинная составляющая базиса. При допустимых преобразованиях базиса пространственные оси (х1, х2, х3) всегда ортонормированы и образуют в правую тройку. Поэтому в действует трёхмерная сферическая тригонометрия с безразмерными функциями. Отношение между тремя пространственными координатами и стрелой времени характеризует направленный вектор тангенса, тождественный вектору скорости материальной точки с соответствующей размерностью:

(1А)

Допустимые линейные преобразования в пространстве-времени Лагранжа образуют группу однородных преобразований Галилея <VG>. Это математически обусловливает принцип относительности Галилея. (Условие их непрерывности det VG = +1 обеспечивает сохранение ориентации базиса.) В конкретном декартово-аффинном базисе пространство-время Лагранжа может рассматриваться как линейное. В частности, в каком-либо оно представляется прямой суммой

(2А)

где, в свою очередь,

(3А)

где р — произвольный вектор параллельного переноса. (Тут в некоторой степени имеется аналогия с бинарными пространствами, отображающая здесь "параболическую" геометрию Клейна).