Дискретно-непрерывная математика (стр. 26 )

т. е.

2° Для нормального оператора А каждый из операторов А и А* предста­вим в виде многочлена от другого из операторов; при этом эти два многочлена определяются заданием характеристических чисел оператора А.

Пусть S — инвариантное подпространство в R для нормального оператора Тогда согласно п.11.23, 5° подпространство Т инвариантно относительно А*. Но где— многочлен. Поэтому Т инвариантно и относительно данного оператора А. Таким образом,

3° Если S — инвариантное подпространство относительно нормального опе­ратора Т,а Т — ортогональное дополнение к S,mo и Т является инвариантным подпространством для А.

Остановимся теперь на спектре эрмитова оператора. Так как эрмитов опе­ратор Н является частным видом нормального оператора, то по доказанному он имеет полную ортонормированную систему собственных векторов:

(243)

Из Н* = Н следует:

(244)

т. е. все характеристические числа эрмитова оператора Н вещественны.

Нетрудно видеть, что и обратно, нормальный оператор с вещественными характеристическими числами всегда эрмитов. В самом деле, из (243), (244) и

следует:

т. е.

Таким образом, мы получили следующую «внутреннюю» характеристику эрмитова оператора (наряду с «внешней»: Н* = Н):

Теорема 5. Линейный оператор Н является эрмитовым тогда и только тогда, когда он имеет полную ортонормированную систему собственных век­торов с вещественными характеристическими числами.

Остановимся теперь на спектре унитарного оператора. Поскольку унитар­ный оператор U является нормальным, то он имеет полную ортонормирован­ную систему собственных векторов

(245)

При этом

(246)

Из UU* = Е находим:

(247)

Обратно, из (245), (246), (247) следует: UU* = Е. Таким образом, среди нормаль­ных операторов унитарный оператор выделяется тем, что у него все характе­ристические числа по модулю равны единице.

Мы получили следующую «внутреннюю» характеристику унитарного опе­ратора (наряду с «внешней»: UU* = Е):

Теорема 6. Линейный оператор тогда и только тогда является уни­тарным, когда он имеет полную ортонормированную систему собственных век­торов с характеристическими числами, по модулю равными единице.

Так как в ортонормированном базисе нормальная (эрмитова, унитарная) матрица соответственно определяет нормальный (эрмитов, унитарный) опера­тор, то получаем следующие предложения:

Теорема 4'. Матрица А является нормальной тогда и только тогда когда она унитарно-подобна диагональной матрице:

(248)

Теорема 5'. Матрица Н является эрмитовой тогда и только тогда, когда она унитарно-подобна диагональной матрице с вещественными числами на диагонали:

(249)

Теорема 6'. Матрица U является унитарной тогда и только тогда если она унитарно-подобна диагональной матрице с диагональными элементами по модулю равными единице:

(250)

11.26. Неотрицательные и положительно определенные эрмитовы операторы

Введем следующее определение.

Определение 9. Эрмитов оператор Н называется неотрицательным, если для любого вектора х из R

и положительно определенным, если для любого вектора х ≠ 0 из R

Если задать вектор х его координатами х1, х2,..., хп в произвольном ортонормированном базисе, то (Нх, х), как легко видеть, представится в виде эрми­товой формы от переменных x1, х2, ..., хп, причем неотрицательному (соот­ветственно положительно определенному) оператору будет отвечать неотрица­тельная (соответственно положительно определенная) эрмитова форма.

Выберем ортонормированный базис х1, х2,..., хп из собственных векторов оператора Н:

(251)

Тогда, полагая будем иметь:

Отсюда следует «внутренняя» характеристика неотрицательного и поло­жительно определенного оператора:

Теорема 7. Эрмитов оператор тогда и только тогда является нео­трицательным (соответственно положительно определенным), если все его характеристические числа неотрицательны (соответственно положительны).

Из сказанного вытекает, что положительно определенный эрмитов опе­ратор есть неособенный неотрицательный эрмитов оператор.

Пусть Н — неотрицательный эрмитов оператор. Для него имеют место равенства (251) с Положим (k = 1, 2, ..., n) и определим линейный оператор F равенствами

(252)

Тогда F будет также неотрицательным оператором, причем

(253)

Неотрицательный эрмитов оператор F, связанный с Н равенством (253), будем называть арифметическим корнем квадратным из оператора Н и будем обо­значать так:

Если Н — положительно определенный оператор, то и F будет положи­тельно определенным.

Определим интерполяционный многочлен Лагранжа g(λ) равенствами

(254)

Тогда из (251), (252) и (254) следует:

(255)

Последнее равенство показывает, чтоявляется многочленом от Н и однозначно определяется заданием неотрицательного эрмитова оператора Н (коэффициенты многочлена g(λ) зависят от характеристических чисел опера­тора Н).

Примерами неотрицательных эрмитовых операторов являются операторы АА* и А*А, где А — произвольный линейный оператор в данном пространстве. Действительно, при произвольном векторе х

Если оператор А неособенный, то АА* и А*А — положительно определенные эрмитовы операторы.

Операторы

будем называть левым и правым модулями оператора А.

У нормального оператора левый и правый модули равны между собой.

11.27. Полярное разложение линейного оператора в унитарном пространстве.

Докажем следующую теорему:

Теорема 8. Произвольный линейный оператор А в унитарном простран­стве всегда представим в виде

(256)

(257)

где Н, Н1 — неотрицательные эрмитовы, a U, U1 — унитарные операторы. Оператор А нормален тогда и только тогда, когда в разложении (256) [или в (257)] множители Н и U (соответственно Н1 и U1) перестановочны между собой.

Доказательство. Из разложений (256) и (257) следует, что Н и Н1 являются соответственно левым и правым модулями оператора А.

Действительно,

Заметим, что достаточно установить разложение (256), так как, применяя это разложение к оператору А*, получим и, следовательно,