Дискретно-непрерывная математика (стр. 29 )

Отвечает симметрическая матрица кососимметрическому оператору К — кососимметрическая матрица и, наконец, ортогональному оператору О — ортогональная матрица О (ОО' = Е).

Ортогональную матрицу, как и ортогональный оператор, мы будем называть матрицей пер­вого или второго рода в зависимости от того, | О | = +1 или | О | = —1.

Аналогично тому, как это делалось в п.11.23 для сопряженного оператора, здесь устанавливается следующее предложение:

Если некоторое подпространство S в R инвариантно относительно линей­ного оператора А, то ортогональное дополнение Т к S в R инвариантно относи­тельно оператора А'.

Для исследования линейных операторов в евклидовом пространстве R мы расширим евклидово пространство R до некоторого унитарного пространства Это расширение проведем следующим образом:

1. Векторы из R будем называть «вещественными» векторами.

2. Введем в рассмотрение «комплексные» векторы — вещественные векторы, т. е.

3. Естественным образом определяются операции сложения комплексных векторов и умножения на комплексное число. Тогда совокупность всех комплекс­ных векторов образует п-мерное векторное пространство над полем комплекс­ных чисел, содержащее в себе как часть R.

4. В вводится эрмитова метрика так, чтобы в R она совпадала с име­ющейся там евклидовой метрикой. Искомая эрми­това метрика задается следующим образом:

Если то

Полагая при этомбудем иметь:

Если выбрать вещественный базис, т. е. базис в R, то будет представлять собой совокупность всех векторов с комплексными, a R — с вещественными координатами в этом базисе.

Всякий линейный оператор А в R однозначно расширяется до линейного оператора в

Среди всех линейных операторов в операторы, получившиеся в резуль­тате такого расширения из операторов в R, характеризуются тем, что пере­водятТакие операторы будем называть вещественными.

В вещественном базисе вещественные операторы определяются веществен­ными матрицами, т. е. матрицами с вещественными элементами.

Вещественный оператор А переводит комплексно сопряженные векторы снова в комплексно сопряженные:

У вещественного оператора вековое уравнение имеет вещественные коэф­фициенты, поэтому вместе с корнем р-й кратности λ оно имеет и корень р-й кратностиИз следует: т. е. сопряженным характеристическим числам соответствуют сопряженные собственные векторы.

Если характеристическому числу λ вещественного оператора А отвечают линейно не­зависимые собственные векторы то характеристическому числу отвечают линейно независимые собственные векторы

Двумерное подпространство [ ] имеет вещественный базис: , Плоскость в R с этим базисом будем называть инвариантной плоскостью оператора А, отвечающей паре характеристических чисел

Пусть

Тогда, как легко видеть,

Рассмотрим вещественный оператор А простой структуры с характеристическими числами:

где — вещественные числа, причем

Тогда соответствующие этим характеристическим числам собственные век­торы можно выбирать так, чтобы

(292)

Векторы

(293)

образуют базис в евклидовом пространстве R. При этом

(294)

В базисе (293) оператору А соответствует вещественная квазидиагональная матрица

(295)

Таким образом, для каждого оператора А простой структуры в евклидовом пространстве существует такой базис, в котором оператору А соответствует матрица вида (295). Отсюда следует, что всякая вещественная матрица струк­туры вещественно-подобна канонической матрице вида (295):

(296)

Транспонированный оператор А' для А в R после расширения становится сопряженным оператором А* для А вСледовательно, нормальный, симмет­рический, кососимметрический, ортогональный операторы в R после расширения становятся соответственно нормальным, эрмитовым, умноженным на i эрми­товым, унитарным вещественным операторами в R.

Нетрудно показать, что для нормального оператора А в евклидовом про­странстве можно выбрать канонический базис —ортонормированный базис (293), для которого имеют место равенства (294) (из ортонормированности базиса (292) в эрмитовой метрике следует ортонормированность базиса (293) в соответствующей евклидовой метрике). Поэтому вещественная нормаль­ная матрица всегда вещественно - и ортогонально-подобна матрице вида (295):

(297)

У симметрического оператора S в евклидовом пространстве все характе­ристические числа вещественны, так как после расширения этот оператор стано­вится эрмитовым. Для симметрического оператора S в формулах (294) следует положить q = 0. Тогда получим:

(298)

Симметрический оператор S в евклидовом пространстве всегда имеет ортонормированную систему собственных векторов с вещественными характе­ристическими числами (симметрический оператор S является неотрицательным, если в (298) все и положительно определенным, если в (298) все ). Поэтому вещественная симметрическая матрица всегда вещественно - и ортогонально-подобна диагональной матрице:

(299)

У кососимметрического оператора К в евклидовом пространстве все харак­теристические числа чисто мнимы (после расширения этот оператор равен про­изведению i на эрмитов оператор). Для кососимметрического оператора в фор­мулах (298) следует положить:

после чего эти формулы принимают вид

(300)

Поскольку К является нормальным оператором, базис (293) можно считать ортонормированным. Таким образом, всякая вещественная кососимметрическая матрица вещественно - и ортогонально-подобна канонической кососимметрической матрице: