Дискретно-непрерывная математика (стр. 16 )

Все дальнейшие векторы ряда (148) также линейно выражаются через первые р векторов этого ряда. (Применяя к обеим частям равенства (149) оператор А, мы выражаем линейно через векторы Но Арх в силу (149) линейно выражается через векторы Поэтому мы получаем аналогичное выражение для Ар+1х. Применяя к этому выражению вектора Арх оператор А, мы выразим через и т. д.). Таким образом, в ряду 148 имеется р линейно независимых векторов, и это максимальное число линейно независимых векторов ряда (148) может быть всегда реализовано на первых р векторах ряда.

Многочлен φ(λ) является минимальным (аннулирующим) многочленом вектора х отно­сительно оператора А. Метод есть метод эффективного определения минимального многочлена φ(λ) вектора х.

Мы рассмотрим раздельно два случая: регулярный случай, когда р = п, и особый случай, когда р < п.

Многочлен φ(λ) является делителем минимального многочлена ψ(λ) всего пространства R (ψ(λ) — минимальный многочлен матрицы А), а ψ(λ) в свою очередь является делителем характеристического шчогочлена ∆(λ). По­этому φ(λ) всегда является делителем ∆(λ).

В регулярном случае имеют одну и ту же степень п, и поскольку старшие коэффициенты у них равны, то эти многочлены совпадают. Таким образом, в регулярном случае

и потому метод Крылова в регулярном случае есть метод вычисления коэффициентов харак­теристического многочлена ∆(λ).

В особом случае, как мы увидим ниже, метод Крылова не дает возможности определить ∆(λ) и в этом случае он определяет только многочлен φ(λ), являющийся делителем ∆(λ).

При изложении преобразования Крылова мы будем обозначать координаты вектора х в заданном базисе через a,b,...,l, а координаты вектора через

Регулярный случай: р=п. В этом случае векторы линейно независимы, и равенства (149), (150), (151) принимают вид

(152)

или

(153)

где

(154)

Условие линейной независимости векторов

может быть аналитически записано так:

(155)

Рассмотрим матрицу, составленную из координат векторов

(156)

В регулярном случае ранг этой матрицы равен п. Первые п строк этой матрицы линейно независимы, а последняя, (п + 1)-я, строка есть линейная комбинация предыдущих п.

Зависимость между строками матрицы (156) получим, заменяя векторное равенство (152) эквивалентной системой п скалярных равенств

(157)

Из этой системы п линейных уравнений мы можем однозначно определить искомые коэффициенты (определитель этой системы в силу (155) отличен от нуля) и подставить полученные значения в (154). Это исключение из (154) и (157) можно провести в симметричной форме. Для этого перепишем (154) и (157) так:

Поскольку эта система из (п + 1) уравнений с (п + 1) неизвестными имеет ненулевое решение (α0=1), то определитель этой системы должен равняться. нулю:

(158)

Отсюда мы определяем ∆(λ), предварительно транспонируя определиотносительно главной диагонали:

(159)

где постоянный множитель М определяется формулой (155) и отличен от нуля.

Тождество (159) и представляет собой преобразование Крылова. В определителе Крылова, стоящем в правой части этого тождества, λ входит только в элементы последнего столбца; остальные же элементы этого определителя от λ не зависят.

Замечание. В регулярном случае все пространство R является циклическим (отно­сительно оператора А). Если в качестве базиса выбрать векторы то в этом базисе оператору А соответствует матрица А, имеющая естественную нормальную форму

(160)

Переход от основного базиса к базису

Осуществляется при помощи неособенной преобразующей матрицы

(162)

При этом

(162)

3. Особый случай: р<п. В этом случае векторы линейно за­висимы, и потому

Равенство (159) выведено при условии М≠0. Oбе части равенства пред­ставляют собой целые рациональные функции от λ и параметров а,b,..,l (

где— элементы матрицы). Поэтому «из соображений непрерывности» следует, что равенство (159) имеет место и при М = 0. Но тогда в определителе Крылова (159) после его раскрытия все коэффициенты окажутся равными нулю. Таким образом, в особом случае (р < п) формула (159) переходит в тривиальное тождество 0=0.

Рассмотрим матрицу, составленную из координат векторов

(163)

Эта матрица имеет ранг р и первые р строк в ней линейно независимы, последняя же (р + 1)-я строка есть линейная комбинация первых р строк с коэффициентами . Из п координат а, b, .. .,l мы сможем выбрать такие р координат с, f, ..., h, чтобы

определитель, составленный из этих координат векторов был отличен от нуля:

(164)

Далее, из (149) вытекает:

(165)

Из этой системы уравнений однозначно определяются коэффициенты α1, α2, ..., αр много­члена φ(λ) (минимального многочлена вектора x). Совершенно аналогично регулярному случаю (лишь с заменой п на p и букв а, b, ...,l буквами с, f, ..., h) мы сможем исключить из (151) и (165) и получить следующую формулу для φ(λ):

(166)

4. Остановимся на выяснении вопроса, для каких матриц и при каком вы­боре исходного вектора х или, что то же, при каком выборе исходных параметров а, b, ..., l имеет место регулярный случай.

Мы уже видели, что в регулярном случае