Дискретно-непрерывная математика (стр. 9 )

Тогда равенство (68) запишется так:

(69)

Всякий многочлен φ(λ), для которого имеет место равенство (69), мы будем называть аннулирующим многочленом для вектора х. (Конечно, подразумевается: относительно данного оператора А. Это обстоятельство мы для краткости в определении не оговариваем, поскольку на протяжении всего этого микромодуля мы будем иметь дело с одним оператором А). Но нетрудно видеть, что из всех аннулирующих многочленов для вектора х построенный нами многочлен является аннулирующим многочленом наименьшей степени со старшим коэффициентом 1. Такой многочлен мы будем называть минималь­ным аннулирующим многочленом вектора х или просто минимальным много­членом вектора х.

Заметим, что произвольный аннулирующий многочленвектора х делится нацело на минимальный многочлен φ(λ).

В самом деле, пусть

(70)

где — частное и остаток от деления на φ(λ). Тогда

(71)

и, следовательно,

(72)

Но степень остатка ρ(λ) должна быть меньше степени минимального много­члена φ(λ). Значит, ρ(λ)≡ 0.

Из доказанного предложения следует, в частности, что каждому вектору х отвечает только один минимальный многочлен.

Выберем в пространстве R некоторый базисОбозначим через минимальные многочлены базисных векторов , а через ψ(λ)— наименьшее общее кратное этих многочленов (ψ(λ)берем со старшим коэффициентом 1). Тогда ψ(λ) будет аннулирующим много­членом для всех базисных векторов Так как произвольный вектор представляется в виде то

т. е.

(73)

Многочлен ψ(λ) является аннулирующим многочленом для всего простран­ства R. Пусть — произвольный аннулирующий многочлен для всего про­странства R. Тогда будет аннулирующим многочленом для базисных векторов Следовательно, должен быть общим кратным для минимальных многочленов этих векторов, и потому многочлен должен делиться на наименьшее общее кратное ψ(λ) без остатка. Отсюда следует, что из всех аннулирующих многочленов для всего пространства R построенный нами многочлен ψ(λ) имеет наименьшую степень и старший коэффициент 1. Такой многочлен однозначно определяется заданием пространства R и оператора А и называется минимальным много­членом пространства R. (Если оператору А в некотором базисе соответствует матрица то аннулирующий или минимальный многочлен пространства R (относительно А) будет аннулирующим или соответственно минимальным многочленом матрицы А и наоборот.) Единственность минимального многочлена про­странства R следует из установленного выше положения: произвольный анну­лирующий многочлен пространства R делится нацело на минимальный многочлен ψ(λ). Хотя само построение минимального многочлена ψ(λ) было связано с определенным базисомоднако многочлен ψ(λ) не зависит от выбора этого базиса (это вытекает из единственности минимального многочлена для пространства R).

Наконец, отметим еще, что минимальный многочлен пространства R является аннулирующим для любого вектора х из R, и потому минимальный многочлен пространства делится без остатка на минимальный многочлен лю­бого вектора из этого пространства.

11.10. Расщепление на инвариантные подпространства с взаимно простыми минимальными многочленами

Подпространство R' с R называется инвариантным относительно данного оператора А, если. т. е. из следует Другими словами, оператор А переводит векторы инвариантного подпространства снова в век­торы этого же подпространства.

В дальнейшем мы будем производить расщепление всего пространства на инвариантные относительно А подпространства. Такое расщепление сводит изучение поведения оператора во всем пространстве к изучению его поведения в отдельных составляющих подпространствах.

Докажем теперь следующую теорему:

Теорема 1 (1-я теорема о расщеплении пространства на инвариантные подпространства). Если для данного линей­ного оператора А минимальный многочлен пространства ψ(λ) представляется в поле К в виде произведения двух взаимно простых многочленов ψ1(λ) и ψ2(λ) (со старшими коэффициентами, равными единице),

(74)

то все пространство R расщепляется на два инвариантных подпространства І1 и І2,

(75)

для которых минимальными многочленами служат соответственно множи­тели ψ1(λ) и ψ2(λ).

Доказательство. Обозначим через І1 совокупность всех векторов х, удовлетворяющих уравнению Аналогично определим І2 с помощью уравненияОпределенные таким образом І1 и І2 суть подпространства в R.

Из взаимной простоты вытекает существование таких многочленов (с коэффициентами из К), что имеет место тождество

(76)

Пусть теперь х — произвольный вектор из R. Заменим в (76) λ на А и при­меним обе части полученного операторного равенства к вектору х:

(77)

т. е.

(78)

где

(79)

Далее,

т. е.

І1 и І2 не имеют общих векторов, отличных от нуля. Действительно, если

то в силу (77)

Таким образом, доказано, что

Пусть, далее, Тогда Помножая обе части этого равенства слева на А и переставляя местами А и ψ1(А), получим т. е. Этим доказано, что подпространство І1 инвариантно относительно А. Аналогично доказывается инвариантность подпространства І2.