Дискретно-непрерывная математика (стр. 11 )

2. Из следует

Эти свойства сравнения показывают, что операции сложения и умножения на число из К не «ломают» классов. Если возьмем два классаи будем складывать элементы х, х', ... первого класса с любыми элементами у, у',... второго класса, то все полученные таким образом сум­мы будут принадлежать одному и тому же классу, кото­рый мы назовем суммой классови обозначим через +. Аналогично, если все векторы х, х', ... класса умножим на число αК, то полученные произведения будут принадлежать одному классу, который обозначим через α

Таким образом, в многообразии всех классов введены две операции: «сложение» и «умноже­ние» на число из К. Эти операции, как легко проверить, обладают свойствами, сформулированными в опреде­лении векторного пространства. Поэтому , как и R, есть векторное пространство над полем К. Мы будем называть надпространством по отношению к R. Если п, т, — числа измерений соответственно пространств то

Все введенные в этом параграфе понятия можно очень хорошо проиллю­стрировать на следующем примере.

Пример. Пусть R — совокупность всех векторов в трехмерном пространстве, К — поле вещественных чисел. Для большей наглядности будем векторы изображать в виде на­правленных отрезков с началом в точке О. Пусть І — некоторая прямая, проходящая через О (точнее, совокупность векторов, идущих вдоль некоторой прямой, проходящей через О; рис. 1).

Рис. 1.

Сравнение х≡х' (mod І) означает, что векторы х и х' отличаются на вектор из І, т. е. отрезок, соединяющий концы х и х', параллелен прямой І. Поэтому класс изоб­разится прямой, проходящей через конец вектора х и параллельной І, точнее, «щеткой» векторов, исходящих из О, концы которых лежат на этой прямой. «Шетки» можно скла­дывать и умножать на вещественное число (складывая и умножая векторы, входящие в эти щетки). Эти «щетки» и являются элементами надпространства . В данном примере п = 3, т = 1, 7? = 2.

Другой пример получим, если в качестве І возьмем плоскость, проходящую через точку О. В этом примере « = 3, т= 2, = 1.

Пусть теперь в R задан линейный оператор А. Предположим, что І есть инвариантное подпространство относительно А. Легко можно доказать, что из х ≡ х' (mod І) следует Ах ≡ Ах' (mod І), т. е. что к обеим частям сравнения можно применять оператор А. Другими словами, если ко всем век­торам х, х', ... некоторого класса применить оператор А, то полученные векторы Ах, Ах', ... также принадлежат к одному классу, который мы обозна­чим через А. Линейный оператор А переводит класс в класс и, таким образом, является линейным оператором в R.

Мы будем говорить, что векторы линейно зависимы по mod І, если существуют такие числа в К, не равные одновременно нулю, что

(82)

Заметим, что не только понятие о линейной зависимости векторов, но все понятия, все предложения и рассуждения, приведенные в предыдущих пара­графах этой главы, могут быть слово в слово повторены с одной лишь заменой всюду знака = знаком ≡ (mod І), где І — некоторое фиксированное подпро­странство, инвариантное относительно А.

Таким образом, вводятся понятия аннулирующий, минимальный много­член вектора, пространства по mod І. Все эти понятия мы будем называть «относительными» в отличие от введенных ранее «абсолютных» понятий (имею­щих место при знаке =).

Обратим внимание читателя на то, что относительный минимальный мно­гочлен (вектора, пространства) есть делитель абсолютного. Пусть, например, σ1(λ) есть относительный минимальный многочлен вектора х, а σ(λ) — соот­ветствующий абсолютный минимальный многочлен.

Тогда

но отсюда следует, что и

Поэтому σ(λ) является относительным аннулирующим многочленом для вектора х и как таковой делится без остатка на относительный минимальный многочлен σ1(λ).

Наряду с «абсолютными» предложениями предыдущих параграфов мы имеем и «относительные» предложения. Так, например, имеем предложение: «В любом пространстве всегда существует вектор, относительный минималь­ный многочлен которого совпадает с относительным минимальным много­членом всего пространства».

Справедливость всех «относительных» предложений обусловлена тем, что, оперируя со сравнениями по mod I, мы по существу имеем дело с равенствами, только не в пространстве R, а в надпространстве

11.12. Расщепление пространства на циклические инвариантные подпространства

Пусть

— минимальный многочлен вектора е. Тогда векторы

(83)

линейно независимы, а

(84)

Векторы (83) образуют базис некоторого p-мерного подпространства I. Это подпространство мы будем называть циклическим, имея в виду специаль­ный характер базиса (83) и равенство (84). (Правильнее было бы называть это подпространство циклическим относительно линей­ного оператора А. Но, поскольку вся теория строится для одного оператора А, мы для со­кращения опускаем слова «относительно линейного оператора А»). Оператор А переводит первый из векторов (83) во второй, второй — в третий и т. д. Последний же базисный вектор переводится оператором А в линейную комбинацию базисных векторов согласно равенству (84). Таким образом, оператор А переводит любой базисный вектор в вектор из I; значит, он и произвольный вектор из I переводит в вектор из I. Другими словами, циклическое подпространство всегда инвариантно от­носительно А.

Произвольный вектор хI представляется в виде линейной комбинации базисных векторов (83), т. е. в виде

(85)

где χ(λ) — многочлен от λ с коэффициентами из К степени Перебирая всевозможные многочлены χ(λ) степени с коэффициентами из К, мы получим все векторы из I, и при этом каждый вектор хI только один раз, т. е. только при одном многочлене χ(λ). Имея в виду базис (83) либо формулу (85), мы будем говорить, что вектор е порождает подпространство I.

Заметим еще, что минимальный многочлен порождающего вектора е будет одновременно и минимальным многочленом всего подпространства I.