Дискретно-непрерывная математика (стр. 53 )

Как известно, у нильпотентной матрицы все скалярные харак­теристические коэффициенты нулевые. Но В∙О = О∙В - также ниль­потентная. Если в (3) подставитьто в детерминанте все слагаемые, содержащие О в произведениях, - нулевые. Откуда следуют обе формулы. В частности, они действуют, когда нильпотентная матри­ца является многочленом от В. Известно, что скалярные коэффициенты не зависят от линейного преобразования базиса и матрицы. Используя, например, клеточно-треугольную Lμ или жорданову J каноническую форму, можно каждой произвольной квадратной матрице поставить во взаимно-однозначное соответствие пару характеристических матриц — простую и нильпотентную, коммутирующие между собой:

(23)

Матрицы В и РВ имеют одно и то же вековое уравнение, одинако­вые собственные значения и их алгебраические кратности. Степень нильпотентности для ОВ равна максимальной степени множителей в минимальном аннулирующем многочлене, или максимальному размеру жордановой субклетки.

Далее с учётом изначальной формулы (1) рассмотрим особенности и свойства матричных характеристических коэффициентов и их взаимосвязь со скалярными коэффициентами. Из (1) непосредственно вытекают тождественные ей формулы:

(24)

где Z - нулевая матрица.

Во-первых, отсюда следует, что в тождестве (24) возможна замена скалярного параметра r на n×n-матричный параметр Е, коммутирую­щий с В. При этом тождество сохраняется:

При такой замене оба многочлена преобразуются в соответствующие матричные формы. В частности, при Е = — В из последнего весьма просто выводится теорема Гамильтона - Кэли:но при

и т. д. Во-вторых, ввиду произвольности параметра ε отсюда же следует рекуррентная формула Сурьё:

(25)

где исходно- из (1). Пусть, по определению,

- характеристические матрич­ные коэффициенты 1-го и 2-го рода. Для последних Учитывая это, (25) приводится к форме

(26)

В результате последовательного повторения (25) и с учётом начальных условий матричные характеристические коэффициенты выражаются многочленами от В:

(27)

В силу этого они коммутативны с В и друг с другом. Из (27) с учётом (2), то есть метода Леверье, следует формула Сурьё:

(28)

С целью вычисления В-1 Сурьё предложил алгоритм последо­вательного расчёта всех характеристических коэффициентов, начиная с t = 1, используя (25) и (28), но в его статье, к сожалению, была опубликована только сводка результатов. Фаддеев, используя (1) и (2), пришёл независимо к тем же результатам и алгоритму, но при этом он связал эти коэффициенты с производящей их формулой (1). Из (27) и теоремы Гамильтона — Кэли следует а из (26)

следует, что

Если матрица несингулярная, то, умножая обе части на В-1, имеем:

(алгоритмический метод Сурьё - Фаддеева вычисления обратной матрицы). Объединяя установленные значения матричных коэффи­циентов, можно записать:

(29)

Здесь предпоследняя строка верна, но получена пока для несин­гулярной матрицы. Логично далее определить порядок коэффициентов, выше которого происходит обнуление цепи (29) или алгоритма Сурьё — Фаддеева. Из (26) и (28) для сингулярной матрицы следует, что , матричные коэффициенты 1-го и 2-го рода обнуляются только вмес­те и окончательно. Это должно происходить при некотором порядке где r' — максимальный порядок, при котором обнуляется ска­лярный коэффициент (ранее определённый как 1-й рок матрицы). Соответственно порядок обнуления матричных характеристических коэффициентов, а именно r", определяется как 2-й рок сингулярной матрицы. (Для несингулярной матрицы эти понятия значения не имеют, оба рока формально равны размеру n.)

Неравенство r' ≤r, как известно, устанавливается только из структуры скалярных коэффициентов (сумма всех диагональных миноров по­рядка r). Аналогично, положение 2-го рока относительно r' и r можно установить только исходя из структуры матричных коэффициентов и которую поэтому нужно найти. После этого можно будет установить взаимоотношение основных параметров сингулярности матрицы, включая показатель степени собственной матрицы в минимальном аннулирующем многочлене. Кроме того, искомая структура интересна ещё тем, что через коэффициенты высшего порядка весьма просто выражаются многие важнейшие матричные характеристики, например: проекторы, квазиобратные матрицы, модальные матрицы.

Для означенной цели воспользуемся дифференциальным методом. Причём для скалярных коэффициентов, чтобы показать аналогию в дальнейшем доказательстве для матричных коэффициентов, их вывод придётся повторить.

Пусть- произвольная совокупность m образующих

элементов n×n-матрицы Вто есть

Коэффициент при произведении

в разложении детерминанта матрицы определяется формулой

(30)

где- новые индексы элементовв ряду миноров, образуемых из матрицы последовательно при вычёркивании строк и столбцов элементов в фигурных скобках обозначен

минор В порядка (n —т), где дополнительно показано: какие строки и столбцы он не содержит. Общая формула (30) получается в результате последовательного частного дифференцирования детерминанта матри­цы. Далее вычисляем обратную матрицу в (1), то есть знаменатель и числитель дроби

Знаменатель дроби представляет собой скалярный многочлен от ε степени n. В силу (30) коэффициент при равен

То есть это диагональный минор матрицы порядка t, не содер-

жаший указанных диагональных элементов. Поскольку только диаго­нальные элементы содержат ε, то, полагая в этих детерминантах r = 0, получаем коэффициенты при εn-t в данном скалярном многочлене как сумму всех диагональных миноров порядка t, причём

Числитель вышеуказанной дроби представляет собой матрицу, у которой диагональные элементы - многочлены от ε степени (n — 1), а недиагональные элементы - многочлены от ε степени (n - 2). Эта матрица разлагается в многочлен от ε степени (n — 1) с матричными коэффициентами

Элемент (рр) матрицы (B+ εI)V равен

где — адьюнкта элемента По аналогии с выше-

изложенным, коэффициент при εn-t-1 в разложении этого детерминанта и он же - элемент (рр) матрицы равен

где р' - новые индексы строк и столбцов в минорах. В свою очередь, элемент (pq) матрицы (B+ εI)V равен

где Dh-minor обозначает соответствующий гиподиагонапъный минор. То есть последний содержит один недиагональный образующий элемент, а именно bpq, и соответственно не содержит элементов bqp, В силу (30) коэффициент npи в разложении этого детерминанта (с учётом того, что порядок выполнения частного дифференцирования значения не имеет) равен