Дискретно-непрерывная математика (стр. 59 )

(137)

которое имеет природу косинусной полуопределённой нормы. Не­трудно видеть, что это отношение равно 0 для нуль-дефектной матрицы и 1 для нуль-нормальной матрицы. В свою очередь, имеем:

(138)

Если A1 и A2 суть n×m-матрицы, то

(139)

Если же А1 и А2 - n×r-матрицы, то, согласно (120) и (132), имеем:

(140)

Причём Соотно-

шение (140) обобщает классическую формулу для косинуса угла между векторами а1 и а2:

(141)

Тригонометрический смысл косинусного и синусного отношений устанавливается далее на основе матричного тригонометрического спектра. Заметим, что квадрат формулы (135) можно рассматривать как тождество для координат некоторых линей­ных геометрических объектов, задаваемых матрицами А1 и А2 . При m = 1 оно соответствует тождеству Лагранжа (т = 3) и тождеству Коши (т > 2) применительно к координатам пары центральных векторов в аффинном пространстве. С точки зрения евклидовой геометрии эти тождества для векторов имеют тригонометрический характер:

(142)

Они являются основой для нормирования или измерения угла между векторами в евклидовом пространстве. Все дальнейшие род­ственные понятия рассматриваются далее применительно к линейным объектам - более общим, чем векторы.

12.16. Предельные методы вычисления проекторов и квазиобратных матриц

Согласно (1) и (101), справедливы предельные формулы:

(143) (144)

Здесь используется то обстоятельство, что из

следует соотношение Как и общие

формулы (71)-(73), частные предельные фомулы (143), (144) получены здесь чисто алгебраическим путём.

Впервые же нормальное решение линейного уравнения типа Ах = а в форме предела получил Тихонов, но функциональным способом. При этом был использован его же метод регуляризации применительно к задаче на условный экстремум частного характера. А именно: найти значение аргумента с минимумом евклидовой нормы на множестве, соответствующем минимуму невязки уравнения:

(145)

Аналогичный результат, но в форме (144), мог быть получен ещё раньше методом штрафных функций Куранта:

(146)

Оба эти метода связаны взаимно-однозначно через умножение или деление на соответствующий скалярный параметр. В свою очередь, ме­тод штрафных функций Куранта решает задачу на условный экстремум F1(x) с градиентной (1×n) функцией ограничений Интегрирование позволяет в таком случае перейти от обычной векторной к новой и тождественной ей скалярной форме ограничения:

(147)

Тогда имеем в (146) функцию Лагранжа W(x, N) и единственный в ней скалярный множитель Лагранжа N →∞, так как при этом из дифференциального уравнения в (146) следует, что

Например, вышеуказанные предельные методы применимы к решению задачи на условный экстремум F1(x) на области стацио­нарности F2(x). Данную цепочку можно продолжить в форме многочлена от ε или от N. Достаточное условие применимости этих двух предельных методов в дифференциальной форме (с малым или с большим параметром) есть, согласно (147), интегрируемость 1×n-вектор-функции ограничений, а, следовательно, симметричность n×n-матрицы Якоби: В случае нормального решения уравнения Ах = а указанная матрица Якоби есть матрица А.

Согласно общему предельному методу, дифференциальные уравне­ния или дают полное решение, соответствующее условной стационарности функции F1(x) при ограничении тогда и только тогда, когда матрица Якоби вектор-функции ограничений h(x) является нуль-нормальной; при этом характер условной стационарности задаёт предельная условная матрица Гессе (с точностью до скалярного параметра).

В частности, этот метод даёт весьма просто явное решение задачи на условный экстремум функции второго порядка Q(x) при линейном ограничении Для квазиобратной матрицы Мура - Пенроуза

Вm* имеем предельное значение, согласно (73) и (104). В свою очередь, аффинная квазиобратная матрица находится тем же функциональным способом, если использовать вспомогательное линейное преобразование базиса, приводящее нуль-простую матрицу Якоби к нуль-нормальной форме с учётом (69) и (104):

Микромодуль 34.

Два альтернативных варианта комплексификации

12.17. Сопоставление основных вариантов

В силу природы комплексных чисел реализуются два принципиально различных подхода к операциям с задаваемыми ими комплексными элементами. Эти операции определяют сущность выполняемой ком­плексификации.

Адекватный подход заключается в том, что комплексные элементы подвергают тем же операциям, которые применяют для вещественных элементов. Такой вариант комплексификации даёт возможность, как правило, использовать результаты, полученные ранее для вещественных понятий. Исключением при этом являются отношения типа неравенств, конечно, не для заведомо вещественных параметров. Особый случай отвечает псевдоизащи, когда комплексные элементы - вещественные и мнимые.

Симбиозный подход, помимо указанных операций, применяет для некоторых комплексных элементов независимую операцию комплекс­ного сопряжения. В частности, эрмитов подход к комплексному век­торному и матричному исчислению сопровождает каждую операцию транспонирования дополнительно комплексным сопряжением. Эрми­тов вариант комплексификации даёт возможность использовать в самосопряжённой форме понятия вещественного положительного модуля и нормы, а также сохранить в той же форме отношения типа неравенств.

Эти альтернативные варианты определяют два пути дальнейшего развития теории и её приложений в комплексных пространствах. Так, соотношение <im В> ≡ <im B'> задаёт адекватно нуль-нормальные матрицы, a <im В> ≡ <im B*> задаёт эрмитово нуль-нормальные матрицы. Адекватно и эрмитово ортогональные проекторы и квази­обратная матрица определяются различно с учётом (98)—(101). Причём адекватные комплексные характеристики существуют также всегда, как и эрмитовы, поскольку из (86) имеем:

С другой стороны, в эрмитовом варианте: В любом случае все проекторы - спектрально неотрицательные матри­цы. Разумеется, аффинные проекторы и квазиобратная матрица не зависят от выбора варианта комплексификации. Заметим, что для комплексной несингулярной матрицы: <im В> ≡<im B'> ≡ <im B*>. Поэтому комплексная обратная матрица определяется однозначно.

К трём скалярным формам представления комплексного числа (алгебраическая, тригонометрическая и показательная) и к векторной форме можно добавить ещё 2×2-матричную форму, которая вообще не содержит мнимой единицы:

(148)

где Форма (148) представляет число «а»

геометрически в вещественном декартовом базисе евклидова прос­транства. Вещественные представления (148), как и комплексные, коммутативны и удовлетворяют всем формулам и тождествам для комплексных чисел. Они образуют транспонированные по отношению друг к другу пары - аналоги комплексных сопряжённых пар. С этой точки зрения вещественная нормальная n×n-матрица представляет геометрически в некотором декартовом базисе k ≤ [n/2] комплексных чисел и (n – 2k) вещественных чисел: М = R∙W∙R'. Простая вещес­твенная матрица представляет те же числа в некотором аффинном базисе: P=V∙W∙V-1. Матрица W, как известно, есть каноническая вещественная монобинарная форма, включающая в прямой сумме только 1×1- и 2×2-клетки. Она же с точностью до перестановок этих клеток является простейшим вещественным решением векового уравнения матрицы с(μ) = 0. Применяя к простой матрице теорему Гамильтона — Кэли, получаем:

Далее на основе (148) осуществляем комплексификацию уже матричной формы числа — либо по адекватному варианту, либо по эрмитовому варианту. В первом случае имеем: