Дискретно-непрерывная математика (стр. 55 )

— степень нильпотентности. Согласно (39), её ранг подчиняется неравенствам:

(45) (46)

Из неравенства (37) следуют более точные оценки параметров сингулярности:

(47)

(48)

Согласно жордановой форме, параметр выражает максимальное количество единиц на прилегающей диагонали, идущих подряд в пределах i-й ультраинвариантной клетки. Общее число единиц выражает параметрЭто трактует неравенства

(47) и (48), а также 1-й и 2-й рок. В свою очередь, неравенство (41) тоже иллюстрируется жордановой формой. А именно, удлинним на один нулевой элемент, например снизу, прилегающую диагональ i-й клетки. Получается квазидиагональ из sі′ элементов 0 или 1, выходящая за пределы клетки и оканчивающаяся нулём. При заданном sі0 мак­симум общего количества единиц на квазидиагонали обеспечивает её равномерная разбивка на суботрезки длиной sі0 с возможным остатком деленияКаждый из суботрезков состоит из единиц и оканчивается нулём, в том числе неполный при остатке есть последний суботрезок. Поэтому - целая часть указанного

отношения. Равенство в (41) возможно только при целом отношении. Из неравенств (41) следуют тождественные им неравенства:

(49) (50)

Поэтому (41), (49) и (50) эффективны для оценок только при ri"<rі. При этом условии

Определим параметр (ri — ri") как i-й дифферент матрицы. Если r"< r, то дефектная матрица - нуль-дифферентная. Из (49) следует, что максимальный дифферент как частный, так и общий составляет что достижимо, когда n есть квадрат целого числа. Максимум достигается при (q = 1). Согласно (49), Вi есть нуль-индифферентная матрица в частных случаях:

(51)

Откуда следует правило, дифферент отсутствует, ecлu размер­ность пространства или ультраинвариантного подпространства не бочее трех. Например, это правило может быть полезно при составлении минимального анулирующего многочлена исходя из рангов. Согласно жордановой форме, оно означает, что в случае второго соотношения в (51) единицы на прилегающих диагоналях могут стоять только непрерывно.

Некоторая квадратная матрица является нуль-индифферентной тогда и точько тогда, когда ранги ее степеней последоватечьно уменьшаются на 1 (вплоть до степени s0 ).

12.7. Характеристические коэффициенты в редуцированной форме

В заключение раздела вычислим все характеристические коэффициенты матрицы в редуцированной форме. Под редукцией здесь понимается максимально возможное понижение степеней характеристических многочленов от ε в числителе и знаменателе дроби (1) за счёт сокращения их общего делителя. Известен метод вычисления минимального аннулирующего многочлена матрицы В через наибольший общий делитель элементов матрицы

. Нетрудно видеть, что последний сокращается в дроби (1) у числителя и у знаменателя. Вследствие этого претерпевают редукцию как многочлен Гамильтона - Кэли, так и характеристические коэффициенты, формулы их связи и алгоритм Сурьё — Фаддеева. Применение редукции к (24) даёт соотношение

(52)

Здесь

где n0 - порядок минимального многочлена. Аналогично (24), формула (52) справедлива и для матричного параметра Е. В частности, при Е = — В отсюда следует минимальный аннулирующий многочлен как в скалярной, так и матричной форме (редуцированная теорема Гамильтона - Кэли), а также следует редуцированная теорема Виета для скалярных коэффициентов:

(53) (54)

(55)

Соответственно редуцируются (25) - (29). В редуцированном алгоритме Сурьё - Фаддеева начальные условия те же, но далее используется редуцированный след и т. д.

Редуцированный детерминант есть

Обратная несингулярная матрица есть

Интересно, что как бы эффективное количество собственных значений при этом снижается до n0, а размер матрицы остаётся прежним. Высшие коэффициенты собственных матриц в редуцированной форме выражаются в виде.

(56)

где — редуцированный 1-й рок. Причём 2-й рок вследствие редукции формально равен (n0 - 1). Частная редукция составляет общая редукция равна (n - n0). Сумма основных частных параметров укладывается в неравенство

Для простой матрицы:

Для её же собственных матриц:

(57)

В свою очередь, для генерального спектрального представления матрицы общего вида интересны ещё три типа аннулирующих многочленов (кроме минимального), а именно в порядке повышения их степени:

(58) (59)

(60)

В этих формулах все три типа степени В являются простыми матрицами. Редуцированные коэффициенты высшего порядка для этих степенных матриц определяют формулы (57). Конечно, вышеуказанное представление основных характеристик точных матриц в редуцированной форме имеет, прежде всего, теоре­тическое значение. В какой-то мере оно переносит методы теории чисел на теорию точных матриц.

В практическом же плане несравненно более важное значение имеет корректное определение основных параметров сингулярности точной матрицы, что непосредственно связано со структурой её характеристи­ческих коэффициентов - скалярных и матричных.

Таким образом, в данном микромодуле была полностью иден­тифицирована структура всех характеристических коэффициентов квадратной матрицы, в том числе коэффициентов высшего порядка для сингулярной матрицы. (Напомним, что к множеству последних пренадлежат все собственные матрицы Ві.) Это, в частности, позволи­ло установить взаимоотношения между основными параметрами сингулярности, которые имеют особое значение в развиваемой далее тензорной тригонометрии. В свою очередь, через характеристические коэффициенты высшего порядка непосредственно в явном виде выражаются собственные проекторы сингулярных матриц, а также конструируются модальные матрицы для приведения к основной и другим каноническим формам.

Микромодуль 32.

Собственные аффинные и ортогональные проекторы

12.8. Аффинные проекторы и квазиобратная матрица во взаимосвязи с коэффициентами высшего порядка

Пусть Вр есть нуль-простая матрица. Тогда где порядок

коэффициента r = rang Вр. Формула (26) приводится к виду:

Здесь и далееобозначают собственные характеристические аффинные проекторы для Вр и вместе с тем — идемпотентные матрицы В случае пространства с евклидовой метрикой это также суть собственные характеристические косогональные проекторы. В аффинном пространстве проецирует на ядро <ker Bp> параллельно образу <im Bp>, а проецирует на образ <im Bp> параллельно ядру <ker Bp>. Действительно,