Дискретно-непрерывная математика (стр. 3 )

1. Рассмотрим линейное преобразование

(8)

коэффициенты которого принадлежат числовому полю К, и два векторных пространства над этим полем: п-мерное R и m-мерное S. Выберем в R некото­рый базис и в S некоторый базис Тогда преобразо­вание (8) относит каждому вектору из R некоторый вектор из S, т. е. преобразование (8) определяет некоторый оператор А, относящий вектору х вектор у : у = Ах. Нетрудно видеть, что этот оператор А обладает свойством линейности, которое мы сформулируем так:

Определение 5. Оператор А, отображающий R в S, т. е. относящий каждому вектору х из R некоторый вектор у = Ах из S, называется линейным, если для любых х, х1 из R и α из К

(9)

Таким образом, преобразование (8) при заданных базисах в R и S опре­деляет некоторый линейный оператор, отображающий R в S.

Покажем теперь обратное, т. е. что для произвольного линейного опера­тора А, отображающего R в S, и произвольных базисов в R и в S существует такая прямоугольная матрица с элементами из поля К

(10)

что составленное при помощи этой матрицы линейное преобразование (8) вы­ражает координаты преобразованного вектора у = Ах через координаты ис­ходного вектора х.

Действительно, применим оператор А к базисному вектору еk и коорди­натыполученного вектора Аеk в базисе обозначим через

(11)

Помножая обе части равенства (11) на хk и суммируя в пределах от 1 до п0 получим:

откуда

где

что и требовалось установить.

Таким образом, при заданных базисах в R и S каждому линейному опе­ратору А, отображающему R в S, отвечает некоторая прямоугольная матрица (10) с размерами т×п и, наоборот, каждой такой матрице отвечает некото­рый линейный оператор, отображающий R в S.

При этом в матрице А, отвечающей оператору А, k-й столбец состоит из последовательных координат вектора

Обозначим через столбцы координат векторов х и у. Тогда векторному равенству

у = Ах

соответствует матричное равенство

у = Ах,

которое является матричной записью преобразования (8).

Пример.

Рассмотрим совокупность всех многочленов от t степени ≤ п — 1 с коэффициентами из числового поля К. Эта совокупность представляет собой некоторое п-мерное векторное пространство Rn (см. пример 4 п.11.1). Точно так же многочлены от t степени ≤ п —2 с коэффициентами из К образуют пространство Rn-1. Оператор дифференцирования от­носит каждому многочлену из Rn некоторый многочлен из Rn-1. Таким образом, этот опе­ратор отображает Rn в Rn-1. Оператор дифференцирования является линейным оператором, так как

В пространствах Rn и Rn-1выберем базисы из степеней t:

Пользуясь формулой (11), построим прямоугольную матрицу размером (n—1) × п, соответствующую оператору дифференцированияв этих базисах:

11.3. Сложение и умножение линейных операторов

1. Пусть даны два линейных оператора А и В, отображающие R в S, и соответствующие им матрицы

Определение 6. Суммой операторов А и В называется оператор С, определяемый равенством

. (12)

На основе этого определения легко проверяется, что сумма С = А + В линейных операторов А и В есть также линейный оператор. Далее,

Отсюда следует, что оператору С отвечает матрица

где т. е. оператору С отвечает матрица

С = А + В. (13)

К этому же выводу можно прийти из рассмотрения матричного равенства

Сх = Ах + Вх (14)

(х - столбец координат вектора х), соответствующего векторному равенству (12). Поскольку х — произвольный столбец, то из (14) следует (13).

2. Пусть даны три векторных пространства R, S и Т соответственно q, n и т измерений и два линейных оператора А и В, из которых В отображает R в S, а А отображает S в Т; в символической записи:

Определение 7. Произведением операторов А и В называется опе­ратор С, для которого при любом х из А

(15)

Оператор С отображает R в Т:

Из линейности операторов А и В вытекает линейность оператора С. Вы­берем в пространствах R, S, Т произвольные базисы и обозначим через А, В, С матрицы, соответствующие операторам А, В, С при этом выборе базисов. Тогда векторным равенствам

(16)

будут соответствовать матричные равенства

где х, у, z — столбцы координат векторов х, у, z. Отсюда находим:

и в силу произвольности столбца х

С = АВ. (17)

Таким образом, произведению С = АВ операторов А и В отвечает мат­рица равная произведению матриц А и В.

Предоставляем читателю самому доказать, что оператору

(то есть оператору, для которого, отвечает матрица

Таким образом, мы видим, что действия над матрицами были определены так, что сумме линейных операторов А+В, произведениям АВ и αА отвечают соответственно матрицы А + В, АВ и αА, где А и В — матрицы, соответствующие операторам А и В, а α — число из К.