Дискретно-непрерывная математика (стр. 24 )

Теперь можно сформулировать фундаментальное свойство сопря­женного оператора:

5° Если некоторое подпространство S инвариантно относительно А, то ортогональное дополнение Т этого подпространства будет инвариантно отно­сительно А*.

Действительно, пусть Тогда из следует и отсюда в силу (224) Так как х — произвольный вектор из S, то что и требовалось доказать.

Введем следующее определение:

Определение 5. Две системы векторов назовем биортонормированными, если

(228)

где — символ Кронекера.

Теперь докажем следующее предложение:

6° Если А — линейный оператор простой структуры, то сопряженный опе­ратор А* также имеет простую структуру, причем можно так выбрать пол­ные системы собственных векторов операторов А и А*, чтобы они были биортонормированы:

Действительно, пусть — полная система собственных векторов оператора А. Введем обозначение

Рассмотрим одномерное ортогональное дополнениек (п — 1)-мерному подпространству Тогда Тk инвариантно относительно А*:

Из следует: так как в противном случае вектор уk должен был бы равняться нулю. Помножаяна надлежащие числовые множители, получим:

Из биортонормированности систем векторов

следует, что векторы каждой из этих систем линейно независимы.

Отметим еще такое предложение:

7° Если операторы А и А* имеют общий собственный вектор, то характе­ристические числа этих операторов, отвечающие общему собственному вектору, комплексно сопряжены.

В самом деле, пусть Тогда, полагая в (224) у = х, будем иметьоткуда λ=.

8° Пусть у — собственный вектор оператора А*, и пусть — ортогональное дополнение к одномерному подпространству Поскольку А = (А*)*, то согласно утверждению 5° подпространство инвариантно отно­сительно оператора А. Таким образом, у всякого линейного оператора в п-мерном унитарном пространстве существует (п — 1)-мерное инвариантное подпро­странство.

Рассматривая далее оператор А в подпространствемы сможем указать на основании установленного предложения (п — 2)-мерное инвариантное подпространствооператора А, принадлежащее Повторяя рассуждение, мы построим цепочку из п последовательно вложенных инвариантных подпространств оператора А (индекс наверху указывает размерность):

Пусть теперь е1 — нормированный вектор, принадлежащий S(1). Выберем в S(2) нормированный вектор е2 такой, что (е1, е2) = 0. В S(2) найдем нормированный вектор е3 такой, что (е1, е3) = 0 и (е2, е3) = 0. Продолжая этот процесс, мы по­строим ортонормированный базис векторов

обладающий тем свойством, что каждое подпространство, натянутое на пер­вые k базисных векторов

инвариантно относительно оператора А.

Пусть теперь— матрица оператора А в построенном базисе. Мы имеем где Поскольку Аеj принадлежит то прии, следовательно, матрица оператора является верхней треугольной. Мы пришли к следующей теореме:

Для любого линейного оператора А в п-мерном унитарном пространстве можно построить ортонормированный базис, в котором матрица этого опера­тора является треугольной.

Это предложение принято называть теоремой Шура. Привлекая общую теорему о приведении матрицы оператора к жордановой форме, легко доказать теорему Шура последовательной ортогонализацией жорданова базиса. Приведенное доказательство по существу использует лишь су­ществование у линейного оператора, действующего в n-мерном унитарном пространстве, собственного вектора.

11.24. Нормальные операторы в унитарном пространстве

Определение 6. Линейный оператор А называется нормальным, если он перестановочен со своим сопряженным:

(229)

Определение 7. Линейный оператор Н называется эрмитовым, если он равен своему сопряженному:

(230)

Определение 8. Линейный оператор U называется унитарным, если он обратен своему сопряженному:

(231)

Заметим, что унитарный оператор можно определить как изометричный оператор в эрмитовом пространстве, т. е. как оператор, сохраняющий метрику.

Действительно, пусть при произвольных векторах х и у из R

(232)

Тогда согласно (224) и, следовательно, в силу произвольности вектора т. е. U*U = Е или Обратно, из (231) следует (232).

Из (231) или (232) вытекает, что 1° произведение двух унитарных операторов есть снова унитарный оператор, 2° единичный оператор Е является унитарным и 3° обратный оператор для унитарного есть также унитарный оператор. По­этому совокупность всех унитарных операторов является группой. Эту группу называют унитарной группой.

Эрмитов оператор и унитарный оператор являются частными видами нор­мального оператора.

Теорема 3. Произвольный линейный оператор А всегда можно пред­ставить в виде

(233)

где Н1 и Н2 — эрмитовы операторы («эрмитовы компоненты» оператора А). Эрмитовы компоненты однозначно определяются заданием оператора А. Опе­ратор А нормален тогда и только тогда, когда его эрмитовы компоненты Н1 и Н2 перестановочны между собой.

Доказательство. Пусть имеет место (233). Тогда

(234)

Из (233) и (234) находим:

(235)

Обратно, формулы (235) определяют эрмитовы операторы Н1 и Н2, связанные с А равенством (233).

Пусть теперь А — нормальный оператор:Тогда из (235) следует: Обратно, из в силу (233) и (234) следует: АА* = А*А. Теорема доказана.