Дискретно-непрерывная математика (стр. 18 )

Вместо раскрытия определителя Крылова можно определить коэффициенты непосредственно из системы уравнений (157) [или (165)] применяя к этой системе какой-либо эффективный метод решения, например, метод исключения. Этот метод можно применить непосредственно к матрице

(172)

пользуясь им параллельно с получением соответствующих строк по методу Крылова. Тогда мы своевременно обнаружим зависимую от предыдущих строку матрицы (171) без вычисле­ния каких-либо определителей.

Поясним это подробнее. В первой строке матрицы (172) выбираем какой-либо элемент с≠0 и с его помощью обращаем в нуль стоящий под ним элемент с1, вычитая из второй строки первую, помноженную на Затем во второй строке выбираем какой-либо эле­мент и с помощью элементов с и f* обращаем в нуль элементы с2 и f2 и т. д.

(Элементы с1, f*, ... не должны принадлежать последнему столбцу, содержащему сте­пени λ). В результате такого преобразования в последнем столбце матрицы (172) степени λ k заменятся многочленами k-й степени

Так как при нашем преобразовании при любом k ранг матрицы, образованной первыми k строками и первыми п столбцами матрицы (172), не меняется, то (р+1)-я строка этой матрицы после преобразования будет иметь вид

Проведенное нами преобразование не изменяет величины определителя Крылова

Поэтому

(173)

т. е. gp (λ) и будет искомым многочленом

(Напоминаем, что старшие коэффициенты многочленов φ(λ) и gp(λ) равны единице).

Выполним следующее упрощение. Получив k-ю преооразованную строку в матрице (172)

(174)

следующую (k+1)-ю строку следует получать, умножая ряд (а не первоначальный ряд на строки данной матрицы. (Упрощение заключается в том, что в преобразованной строке (174) k — 1 элементов равны нулю. Поэтому такую строку проще умножать на строки матрицы А). Тогда мы найдем (k + 1)-ю строку в виде

и после вычитания предыдущих строк получим:

Рекомендуемое небольшое видоизменение метода Крылова (соединение его с мето­дом исключения) позволяет сразу получить интересующий нас многочлен φ(λ) [в регулярном случае ∆(λ)] без вычисления каких-либо определителей и решения вспомогательной системы уравнений.

Пример.

Микромодуль 28

Линейные оператор в унитарном пространстве

B микромодулях 26 и 27 мы изучали линейные операторы в произвольном п-мерном векторном пространстве. Все базисы такого пространства равноправ­ны между собой. Данному линейному оператору в каждом базисе отвечает неко­торая матрица. Матрицы, отвечающие одному и тому же оператору в различ­ных базисах, подобны между собой. Таким образом, изучение линейных опера­торов в п-мерном векторном пространстве давало возможность выявить свой­ства матрицы, присущие одновременно всему классу подобных между собой матриц.

В начале этого микромодкля мы введем метрику в п-мерное векторное простран­ство, относя специальным образом каждым двум векторам некоторое число — их «скалярное произведение». С помощью скалярного произведения опреде­ляется «длина» вектора и «косинус угла» между двумя векторами. Такая метри­зация приводит нас к унитарному пространству, если основное поле К — поле всех комплексных чисел, и к евклидову пространству, если К — поле всех вещественных чисел.

В настоящем микромодуле мы будем изучать свойства линейных операторов, связанные с метрикой пространства. По отношению к метрике пространства уже не все базисы равноправны. Однако равноправными являются все ортонормированные базисы. Переход от одного ортонормированного базиса к другому осуществляется в унитарном (соответственно евклидовом) простран­стве при помощи специального - унитарного (соответственно ортогонального) - преобразования. Поэтому две матрицы, отвечающие одному и тому же линейному оператору в двух различных базисах унитарного (евклидова) про­странства, унитарно-подобны (ортогонально-подобны) между собой. Таким образом, изучая линейные операторы в п-мерном метризованном пространстве, мы изучаем те свойства матрицы, которые остаются инвариантными при пере­ходе от данной матрицы к матрице унитарно - или ортогонально-подобной. Это приводит нас естественным образом к исследованию свойств специальных классов матриц (нормальных, эрмитовых, унитарных, симметрических, косо-симметрических, ортогональных).

11.17. Метризация пространства

Рассмотрим векторное пространство R над полем комплексных чисел. Пусть каждым двум векторам х и у из R, заданным в определенном порядке, отнесено некоторое комплексное число, называемое скалярным произведением этих векторов и обозначаемое через (ху) или (х, у). Пусть при этом имеют место следующие свойства «скалярного умножения».

Для любых векторов х, у, z из R и любого комплексного числа α

(175)

(Черта над числом означает переход к комплексно сопряженному числу).

В этом случае говорят, что в пространство R внесена эрмитова метрика.

Заметим еще, что из 1, 2 и 3 следует для любых х, у, z из R:

Из 1 заключаем, что для любого вектора х скалярное произведение (хх) является вещественным числом.

Если для любого вектора х из R

4. (хх) ≥0, (176)

то эрмитова метрика называется неотрицательной. Если же при этом

5. (хх) > 0 при х ≠ 0, (177)

то эрмитова метрика называется положительно определенной.

Определение 1. Векторное пространство R с положительно опреде­ленной эрмитовой метрикой мы будем называть унитарным пространством.

В настоящем микромодуле мы будем рассматривать конечные унитарные про­странства.

Под длиной вектора х понимаютИз 2 и 5 следует, что

каждый вектор, отличный от нуля, имеет положительную длину и лишь вектор-нуль имеет длину, равную нулю. (Здесь знаком √ обозначаем неотрицательное (арифметическое) значение корня). Вектор х называется нормированным (также единичным вектором или ортом), еслиДля «нормировки» произвольного вектора достаточно умножить этот вектор на любое комплексное

число λ, у которого

По аналогии с обычны мтрехмерным векторным пространством два вектора х и у называются ортогональными (обозначение:, если (ху) = 0. В этом случае из 1, 3, 3' следует:

т. е. (теорема Пифагора!)

Пусть унитарное пространство R имеет конечное число измерений п. Рас­смотрим в R произвольный базис Обозначим через хt и yt (i = = 1, 2, ..., п) соответственно координаты векторов х и у в этом базисе:

\

Тогда в силу 2, 3, 2' и 3'

(178)

где

(179)

В частности,

(180)

Из 1 и (179) следует:

(181)

Формана

зывается эрмитовой (в соответствии с этим выражение, стоящее в правой части равенства (178), называется билинейной эрмитовой формой (относительно величин ). Таким образом, квадрат длины вектора представляется в виде эрмитовой фор­мы его координат. Отсюда и название «эрмитова метрика». Форма, стоящая в правой части равенства (180), является в силу 4 неотрицательной: