Дискретно-непрерывная математика (стр. 30 )

(301)

У ортогонального оператора О в евклидовом пространстве все характе­ристические числа по модулю равны единице (после расширения такой опера­тор становится унитарным). Поэтому в случае ортогонального оператора в формулах (294) следует положить:

При этом базис (293) можно считать ортонормированным. Формулы (294) можно представить в виде

(302)

Из сказанного следует, что всякая вешественная ортогональная матрица вещественно - и ортогонально-подобна канонической ортогональной:

(303)

Пример. Рассмотрим произвольное конечное вращение вокруг точки О в трехмерном евклидовом пространстве. Оно переводит направленный отрезок в направленный отрезок и потому может быть рассматриваемо как оператор О в трехмерном векторном простран­стве (образованном всевозможными отрезками Этот оператор линейный и притом орто­гональный. Определитель этого оператора равен единице, так как оператор О не изменяет ориентации в пространстве.

Итак, О — ортогональный оператор первого рода. Для него формулы (302) будут вы­глядеть так:

Из равенства | О | = 1 следует, что Ох2 = х2. Это означает, что все точки прямой, про­ходящей через точку О в направлении вектора х2, неподвижны. Таким образом, мы видим, что имеет место утверждение:

Произвольное конечное вращение твердого тела вокруг неподвижной точки может быть осуществлено конечным поворотом на угол φ вокруг некоторой неподвижной оси, проходящей через эту точку.

Рассмотрим теперь произвольное конечное движение в трехмерном евклидовом про­странстве, переводящее точку х в точку

(*)

Движение складывается из поворота О вокруг некоторой оси, проходящей через начало координат, и параллельного сдвига на вектор с. Обозначим через u, z1, z2 собственные векторы О, соответствующие характеристическим числам(при этом

Докажем существование такой точки х0, перемещение которой х′0 — х0 параллельно вектору u (т. е. параллельно оси конечного поворота О). Для этого положим

и найдем, что

Поэтому, определив координаты искомой точки х0 из равенств

получим для перемещения точки х0 требуемую формулу

Складывая почленно это равенство с вытекающим из (*) равенством

получим

(**)

Эта формула показывает, что при рассматриваемом конечном движении радиус-вектор точки, проведенный из х0, поворачивается вокруг некоторой оси на фиксированный угол; затем к нему прибавляется параллельный оси вектор γи. Другими словами, движение представляет собой винтовой сдвиг вокруг оси, проходящей через точку x0 параллельно вектору u. Нами доказана теорема Эйлера — Даламбера:

Произвольное конечное движение в трехмерном евклидовом пространстве представляет собой винтовое перемещение вокруг некоторой неподвижной оси.

11.29. Полярное разложение оператора в евклидовом пространстве

1. В п.11.27 было установлено полярное разложение линейного оператора в унитарном пространстве. Совершенно аналогично получается полярное раз­ложение линейного оператора в евклидовом пространстве.

Теорема 9. Линейный оператор А всегда представим в виде произве­дений

(304)

(305)

где S и S1 — неотрицательные симметрические, а О и О1 — ортогональные операторы; при этом где — вещественные многочлены.

В том и только в том случае, когда А — нормальный оператор, множители S и О (множители S1 и О1) между собой перестановочны (Как и в теореме 8, операторы S и S1, определяются однозначно заданием А. Если А — неособенный оператор, то однозначно определяются и ортогональные множители О и О1).

Аналогичное предложение имеет место для матриц.

Отметим геометрическое содержание формул (304) и (305). Будем откла­дывать векторы п-мерного точечного евклидова пространства из начала коор­динат. Тогда каждый вектор будет радиус-вектором некоторой точки про­странства. Ортогональное преобразование, осуществляемое оператором О (или О1) является «вращением» в этом пространстве, поскольку оно сохраняет евкли­дову метрику и оставляет на месте начало координат ( в случае | О | = 1 это будет собственно вращением; в случае же | О | = —1 это будет соединение вращения с зеркальным отображением относительно некоторой координатной плоскости). Симметрический же оператор S (или S1) осуществляет «дилатацию» п-мерного пространства (т. е. «растяжение» вдоль п взаимно перпендикулярных направлений с различными в общем случае коэффициентами растяжения — произвольные неотрицательные числа). Согласно формулам (304) и (305) произволь­ное линейное однородное преобразование п-мерного евклидова пространства можно получить, осуществляя последовательно некоторое вращение и некото­рую дилатацию (в любом порядке).

2. Подобно тому как это было сделано в предыдущем параграфе для унитарного оператора, рассмотрим теперь некоторые представления для орто­гонального оператора в евклидовом пространстве R.

Пусть К — произвольный кососимметрический оператор (К' = — К) и

(306)

Тогда О — ортогональный оператор первого рода. Действительно,

и

Если — характеристические числа оператора К, то — характеристические числа оператора О = еК; при этом поскольку

Покажем, что любой ортогональный оператор первого рода представим в виде (306). Для этого возьмем соответствующую ортогональную матрицу О. Поскольку | О | = 1, то согласно формуле (303)

(307)

Среди характеристических чисел ортогональной матрицы О первого рода имеется четное число равных —1. Диагональная матрицаможет быть записана в виде при

Определим кососимметрическую матрицу К равенством

(308)

Поскольку

то из (307) и (308) следует:

(309)