Дискретно-непрерывная математика (стр. 14 )

Точно так же, если бы мы исходили не из 2-й, а из 3-й теоремы о расщепле­нии, то в соответствующем базисе оператору А отвечала бы матрица LІІ, име­ющая вторую естественную нормальную форму, характеризуемую

1) квазидиагональным видом

2) специальной структурой диагональных клеток (113), (114) и т. п.,

3) дополнительным условием: характеристический многочлен каждой клет­ки является степенью неприводимого в поле К многочлена.

В следующем параграфе мы покажем, что в классе подобных матриц, отве­чающих одному и тому же оператору, существует только одна матрица, име­ющая первую нормальную форму (это не означает, что существует только один канонический базис вида (111). Канони­ческих базисов может быть много, но всем им отвечает одна и та же матрица LІ), и только одна (с точностью до порядка диагональных клеток), имеющая вторую нор­мальную форму. Более того, мы дадим алгоритм для нахождения многочленов по элементам матрицы А. Знание этих многочленов даст нам возможность выписать все элементы матриц LІ и LІІ, подобных матрице А и имеющих соответственно первую и вторую нормальную форму.

11.14. Инвариантные многочлены. Элементарные делители

В п. 1 настоящего параграфа повторяются для характеристической матрицы основные понятия, установленные ранее для произвольной многочленной матрицы.

1. Обозначим через Dp(λ) наибольший общий делитель всех миноров р-то порядка характеристической матрицы

(В наибольшем общем делителе всегда выбираем старший коэффициент равным единице).

Так как в ряду

каждый многочлен делится на последующий без остатка, то формулы

(116)

определяют п многочленов, произведение которых равно характеристическому многочлену

(117)

Многочленыразложим на неприводимые в поле К множители:

(118)

Где — различные неприводимые в поле К многочлены.

Многочлены называются инвариантными многочленами, а все степени, отличные от постоянной, среди называются элементарными делителями характеристической матрицы или просто матрицы А.

Произведение всех элементарных делителей, как и произведение всех ин­вариантных многочленов, равно характеристическому многочлену

Название «инвариантные многочлены» оправдано тем, что две подобные матрицы

(119)

всегда имеют одни и те же инвариантные многочлены

(120)

Действительно, из (119) следует:

(121)

Отсюда получаем соотношение между минорами подобных мат­риц.

(122)

Это равенство показывает, что каждый общий делитель всех миноров р-го порядка матрицы Аλ является общим делителем всех миноров р-го порядка мат­рицыи наоборот (поскольку матрицы можно поменять местами). Отсюда вытекает: и, следовательно, имеет место (120).

Поскольку все матрицы, представляющие данный оператор А в различных базисах, подобны между собой и потому имеют и те же инвариантные много­члены и, следовательно, одни и те же элементарные делители, то можно гово­рить об инвариантных многочленах и элементарных делителях оператора А.

2. Возьмем теперь в качестве матрицу LI, имеющую первую естествен­ную нормальную форму, и вычислим инвариантные многочлены матрицы А, исходя из вида матрицы (на схеме (123) эта матрица выписана для случая т = 5, р = 4, q = 4, r = 3):

(123)

Пользуясь теоремой Лапласа, найдем:

(124)

Перейдем к отысканиюОбратим внимание на минор элемента Этот минор с точностью до множителя ±1 равен

(125)

Мы докажем, что этот минор (п — 1)-го порядка будет делителем всех прочих миноров (n — 1)-го порядка и что, следовательно,

(126)

Для этого возьмем сначала минор элемента, находящегося вне диагональ­ных клеток, и покажем, что такой минор равен нулю. Для получения этого ми­нора нам придется из матрицы (123) вычеркнуть одну строку и один столбец. Вычеркнутые линии в рассматриваемом случае пересекут две разные диагональ­ные клетки и, следовательно, у каждой из этих двух клеток будет вычеркнуто по одной линии. Пусть, например, у j-й диагональной клетки будет вычеркнута одна из строк. Возьмем в миноре ту вертикальную полосу, в которой содер­жится эта диагональная клетка. В этой полосе, имеющей s столбцов, все строки, за исключением s — 1 строк, будут состоять сплошь из нулей (здесь через s мы обозначили порядок матрицы Aj). Разлагая рассматриваемый определитель (п — 1)-го порядка на основании теоремы Лапласа по минорам s - го порядка, содержащимся в указанной полосе, мы и убедимся в том, что он равен нулю.

Возьмем теперь минор элемента, находящегося внутри одной из диагональ­ных клеток. В этом случае вычеркиваемые линии «искалечат» только одну из диагональных клеток, например j-ю, и матрица минора снова будет квазидиагональной. Поэтому такой минор будет равен

(127)

где — определитель «искалеченной» j - й диагональной клетки. В силу того, что делится нацело на произведение (127) разделится без остатка на произведение (125). Таким образом, равенство (126) можно считать доказанным. Аналогичными рассуждениями получим:

(128)

Из (124), (126) и (128) находим:

(129)

Формулы (129) показывают, что многочлены совпадают с отличными от единицы инвариантными многочленами оператора А (либо соответствующей матрицы А). Но тогда отличные от единицы в разложении (105) совпадают с элементарными дели­телями оператора А (либо соответствующей матрицы А). Поэтому задание инвариантных многочленов, или, что то же, задание элементарных делителей в поле К, однозначно определяет элементы нормальных форм LІ и LІІ.

Ранее было установлено, что две подобные матрицы имеют одни и те же инвариантные многочлены. Пусть теперь, обратно, известно, что две матрицы А и В с элементами из К имеют одни и те же инвариантные многочлены. Так как матрица LІ однозначно определяется заданием этих многочленов, то обе матрицы А и В подобны одной и той же матрице LІ и, следовательно, подобны между собой. Таким образом, приходим к следующему предложению:

Теорема 9. Для того чтобы две матрицы с элементами из К были подобны, необходимо и достаточно, чтобы у этих матриц были одни и те же инвариантные многочлены (или одинаковые элементарные делители в поле К).

Характеристический многочлен ∆ (λ) оператора А совпадает с Dn (λ) и потому равен произведению всех инвариантных многочленов: