Дискретно-непрерывная математика (стр. 78 )

13.30. Псевдоизация в бинарных комплексных пространствах

Далее особое значение имеет псевдоизация. Пусть изначально задано бинарное комплексное аффинное пространство с индексам q. Оно обозначается какВ конкретном базисе аффинное прос-

транство может рассматриваться как линейное. В частности,в

некотором псевдоединичном базисе представляется прямой суммой, состоящей из n-мерного вещественного и q-мерного мнимого линейных подпространств:

(441)

Здесь постоянны, во-первых, суммарное пространство и, во-вторых, размерности слагаемых подпространств. Вдопускаются такие

линейные преобразования V, которые сохраняют бинарную структуру:

(442)

Первые n столбцов матрицы базиса задают остальные q столб-

цов задают Соответственно модальная матрица V-1 (с такой

же матричной структурой) приводит какой-либо бинарный базис к простейшей диагональной (псевдоединичной) форме. Кроме того, она осуществляет пассивное модальное преобразование координат линейного элемента:

Бинарный комплексный базис в тригонометрических формах представляется псевдоединичными матрицами двух типов:

(443), (444)

B любом бинарном комплексном базисе линейный элемент простран­ства представляется прямой суммой, состоящей из вещественной и мнимой аффинных проекций:

(445)

Ввиду аффинности пространства в целом подпространства-слагаемые и базисы могут подвергаться операции параллельного переноса на элемент (445). Применение базиса (443) целесообразно для представления канонических форм в псевдогиперболическом варианте тригонометричес­ких функций с собственными углами iφj. Он тождествен (271). Применение базиса (444) целесообразно для представления каноничес­ких форм в псевдосферическом варианте тригонометрических функций с собственными углами iγj. Он тождествен базису, обратному (271). Вместе с тем, оба базиса эрмитово сопряжены по отношению друг к другу. Имеем соответствующие модальные преобразования:

что отвечает преобразованию (322);

что отвечает преобразованию (323). Кроме того, базис (444) целесообразен как исходный для изложения псевдоевклидовой геометрии в форме комплексного квазиевклидова изоморфизма. А именно, введём для комплексных линейных элементов бинарного аффинного пространства выраженных в базисе (444), скалярное произведение с единичным метрическим тензором:

При этом пространство трансформируется в комплексное квази­евклидово пространство с индексом q. Оно представляется прямой сферически ортогональной суммой, состоящей из вещественного и мнимого евклидовых подпространств:

(446)

Здесь знак как и ранее, обозначает сферически ортогональное суммирование. По существу это есть комплексное бинарное квазиевклидово пространство, задаваемое рефлектор-тензором

Микромодуль 41.

Тригонометрия общих

псевдоевклидовых пространств

13.31. Овеществление бинарного евклидова пространства

Далее применим к бинарному комплексному квазиевклидову пространству, в том числе к исходному комплексному базису в нём, овеществляющее модальное преобразование:

(447)

Последнее выходит за пределы множества допустимых ортогональ­ных модальных преобразований данного квазиевклидова пространства, так как. Ввиду этого пространство становится иным.

Теперь оно есть вещественное псевдоевклидово пространство с рефлектор-тензором и, вместе с тем, - метрическим тензором и с индексом q:

(448)

Здесь тот же самый линейный элемент z выражен в базисе и обозначается как «u». В скобках осуществляется пассивное преобразование координат. Базисв (447) выражен в единичном базисе Но, если другой исходный координатный базиссвязан с вышеуказанным универсальным (декартовым) базисомкаким-либо вещественным линейным преобразованием V, то в нём базисы выражаются в виде:

(449) (450)

Здесь матрица преобразования переводится из координат базисе в координаты базиса как это осуществляется при последовательных модальных преобразованиях. Скалярное произведение в новом единичном базисе по-прежнему то же, поскольку оно определяет исконную метрическую величину элемента.

(451)

Здесь тот же самый линейный элемент z выражен в базисеи обозна­чается как «а». В скобках осуществляется пассивное преобразование координат. Ввиду несогласованности преобразования V с метрическим рефлектор-тензоромпоследний претерпевает общее конгруэнтное преобразование

(452)

Например, такой метрический тензор формально действует в гаус­совых криволинейных координатах псевдоевклидова пространства (с искажённой метрикой) как функция от его точечного элемента. Взаимный метрический тензор выражается в виде:

(453)

В свою очередь, геометрия с постоянным метрическим тензором (452) изоморфна псевдоевклидовой геометрии с теми же параметрами размерностей n и q. Она по сути есть линейное отображение последней во множестве допустимых аффинных базисов:

(454)

где формально действует метрический тензор

(455)

Из (455) следует, что Чтобы Taf входило в группу

непрерывных преобразований, примем Исходя из этого

зададим группу аффинных тригонометрических преобразований соответствующую тензору в виде условий:

(456)

13.32. Группа псевдоевклидовых ротаций

Положим в (452) V = R. Тогда имеем метрический тензор простран­ства как симметричный рефлектор-тензор:

(457)

Напомним, чтообозначает некоторый симметричный квадратный корень из I. Метрический тензор (457) действует в ориен­тированном псевдоевклидовом пространстве. Группа ротационных тригонометрических преобразований <Т> в нём задаётся с учётом (456) в виде условий:

(458)