Дискретно-непрерывная математика (стр. 25 )

Представление произвольного линейного оператора А в виде (233) явля­ется аналогом представления произвольного комплексного числа z в виде где x1 и х2 — вещественные числа.

Пусть в некотором ортонормированием базисе операторам A,H и U отве­чают соответственно матрицы А, Н, U. Тогда операторным равенствам

(236)

будут соответствовать матричные равенства

(237)

Поэтому мы и определяем нормальную матрицу как матрицу, перестановочную со своей сопряженной, эрмитову как равную своей сопряженной и, наконец, унитарную как обратную своей сопряженной.

Тогда в ортонормированном базисе нормальному (эрмитову, унитарному) оператору отвечает соответственно нормальная (эрмитова, унитарная) мат­рица.

Эрмитова матрицав силу (237) характеризуется следующими соотношениями между элементами:

т. е. эрмитова матрица всегда является матрицей коэффициентов некоторой эрмитовой формы.

Унитарная матрица U=||uik||n1 в силу (237) характеризуется следующими соотношениями между элементами:

(238)

Так как изследует то из (238) следуют эквивалентные соотношения

(239)

Равенства (238) выражают собой «ортонормированность» строк, а равенства (239) — ортонормированность столбцов в матрице (таким образом, ортонормированность столбцов в матрице U является следствием ортонормированности строк и наоборот).

Унитарная матрица является матрицей коэффициентов некоторого унитар­ного преобразования.

Оператор Р, осуществляющий ортогональное проектирование векторов унитарного пространства R на заданное подпространство S, является эрмито­вым проекционным оператором.

Действительно, этот оператор является проекционным, т. е. Р2 = Р. Далее, из ортогональности векторов

следует:

Отсюда в силу произвольности векторов х, у

т. е. Р = Р*Р. Из этого равенства следует, что Р — эрмитов оператор, так как

11.25. Спектр нормальных, эрмитовых, унитарных операторов

Установим предварительно одно свойство перестановочных операторов, сформулировав его в виде леммы.

Лемма 1. Перестановочные операторы А и В (АВ = ВА) всегда имеют общий собственный вектор.

Доказательство. Пусть х есть собственный вектор оператора А: Тогда в силу перестановочности операторов А и В

(240)

Пусть в ряду векторов

первые р векторов линейно независимы, в то время как (р + 1)-й вектор ВРх является уже линейной комбинацией предыдущих. Тогда подпространство будет инвариантно относительно В и потому в этом подпространстве S будет существовать собственный вектор у оператора С другой стороны, равенства (240) показывают, что векторы х, Вх,..., ВР-1х являются собственными векторами оператора A, отвечающими одному и тому же характеристическому числу λ. Поэтому и любая линейная комбинация этих векторов, в частности вектор у, будет собственным вектором оператора А, отвечающим характеристическому числу λ. Таким образом, дока­зано существование общего собственного вектора операторов А и В.

Пусть А — произвольный нормальный оператор в n-мерном эрмитовом пространстве R. В этом случае операторы А и А* перестановочны между собой и потому имеют общий собственный вектoр х1. Тогда

Обозначим через S1 одномерное подпространство, содержащее вектор а через Т1 — ортогональное дополнение для S1 в R:

Так как S1 инвариантно относительно А и А*, то Т1 также инвариантно относительно этих операторов. Поэтому перестановочные опе­раторы А и А* имеют согласно лемме 1 общий собственный вектор х2 в Т1.

Очевидно, х1 ┴ х2. Полагаяи

мы аналогичными соображениями установим существование в Т2 общего соб­ственного вектора х3 операторов А и А*. Очевидно, Продолжая этот процесс далее, мы получим п попарно ортогональных общих собственных векторов х1, х2, ..., хп операторов А и А*:

(241)

Векторы х1, х2, ..., хп можно пронормировать. При этом равенства (241) сохра­нятся.

Таким образом, мы доказали, что нормальный оператор всегда имеет полную ортонормированную систему собственных векторов. (Под полной ортонормированной системой векторов мы здесь и в дальнейшем понимаем ортонормированную систему из п векторов, где п — число измерений про­странства).

Так как извсегда следуетто из равенств (241) вытекает:

1° Если оператор А нормален, то каждый собственный вектор оператора А является собственным вектором сопряженного оператора А*, т. е. если опе­ратор А нормален, то операторы А и А* имеют одни и те же собственные векторы.

Пусть теперь, обратно, дано, что линейный оператор А имеет полную ортонормированную систему собственных векторов:

Докажем, что в этом случае А является нормальным оператором. Действи­тельно, положим:

Тогда

Отсюда следует:

т. е. имеют место все равенства (241).

Но тогда

oткуда

Таким образом, мы получили следующую «внутреннюю» (спектральную) ха­рактеристику нормального оператора А (наряду с «внешней»:

Теорема 4. Линейный оператор тогда и только тогда является нор­мальным, когда этот оператор имеет полную ортонормированную систему собственных векторов.

В частности, нами доказано, что нормальный оператор всегда является оператором простой структуры.

Пусть А — нормальный оператор с характеристическими числами По интерполяционной формуле Лагранжа определим два многочлена из условий

Тогда в силу (241)

(64)