Дискретно-непрерывная математика (стр. 38 )

причем здесь— вещественные числа.

Допустим, что квадратичные формы обладают указанным свойством. Тогда пучок матриц А+λВ будет конгруэнтен пучку диагональ­ных матриц

(395)

Пусть среди диагональных двучленовимеется ровно не равных тождественно нулю. Не нарушая общности, можем считать, что

Полагая

мы матрицу (395) представим в виде

(396)

Сопоставляя (396) с (378), мы видим, что в данном случае все мини­мальные индексы равны нулю. Кроме того, все элементарные делители имеют первую степень. Мы пришли к теореме

Теорема 7. Две квадратичные формы одновременным преобразованием переменных могут быть приведены к суммам квадратов [(393) или (394)] в том и только в том случае, когда у пучка матриц А+λВ все элемен­тарные делители (конечные и бесконечные) первой степени, а все минимальные индексы равны нулю.

Для того чтобы в общем случае одновременно привести две квад­ратичные формы к некоторому каноническому виду, нужно заменить пучок матриц А+λВ строго эквивалентным ему «каноническим» пуч­ком симметрических матриц.

Пусть пучок симметрических матриц имеет минимальные индексы и элементарные делители бесконечные и конечные Тогда в канонической форме (374) Заменим в (374) каждые два диагональных блока вида одним диагональным блоком каждый блок видазаменим строго эквивалентным симметрическим блоком

(397)

Кроме того, вместо регулярного диагонального блокав (374) (J — жорданова матрица)

(398) возьмем строго эквивалентный ему пучок

(399)

где

(400)

Пучок строго эквивалентен симметрическому пучку

(401)

Две квадратичные формы с комплексными коэффициентами А (х, х) и В (х, х) преобразованием переменныхмогут быть одновре­менно приведены к каноническому виду определяемому равен­ством (401).

11.37. Приложения к дифференциальным уравнениям

Рассмотрим приложения полученных результатов к интегрированию сис­темы т линейных дифференциальных уравнений первого порядка с п неизвест­ными функциями с постоянными коэффициентами

(402)

или в матричной записи:

(403)

(как известно, система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффи­циентами любого s-го порядка может быть приведена к виду (402), если все производные от неизвестных функций до (s — 1)-го порядка включительно дополнительно ввести в качестве новых неизвестных функций),

здесь

(Напоминаем, что круглыми скобками обозначается столбцевая матрица. Так, х = (х1, х2, ..., хп) — столбец с элементами x1, х2, ..., хп).

Введем новые неизвестные функциисвязанные со старыми линейным неособенным преобразованием с постоянными коэффициентами:

(404)

Кроме того, вместо уравнений (402) можно взять любые т независимых линейных комбинаций их, что равносильно умножению матриц А, В, f слева на квадратную неособенную матрицу т-го порядка Р. Подставляя Qz вместо х в (403) и умножая (403) почленно слева на Р, получим:

(405)

где

(406)

При этом пучки матриц строго эквивалентны друг другу:

(407)

Выберем матрицы Р и Q так, чтобы пучокимел каноническую квазидиагональную форму

(408)

В соответствии с диагональными блоками в (408) система дифференциаль­ных уравнений распадается на отдельных систем вида

(409) (410)

(411) (412)

(413)

где «

(414)

(415)

(416)

Таким образом, интегрирование системы (403) в самом общем случае све­дено к интегрированию частных систем (409) — (413) такого же типа. В этих систе­мах пучок матриц А + λВ имеет соответственно вид

1) Для того чтобы система (409) не была противоречивой, необходимо и достаточно, чтобы

т. е.

(417)

В этом случае в качестве неизвестных функций составляющих столбец , могут быть взяты произвольные функции от t.

2) Система (410) представляет собой систему вида

(418)

или в подробной записи

(419)

(Мы изменили индексы при z и для упрощения обозначений. Для того чтобы от сис­темы (419) вернуться к системе (410), нужно ε заменить на εі и к каждому индексу при z при­бавить а к каждому индексу при следует прибавить).

Такая система всегда совместна. Если в качестве взять произвольную функцию от t, то последовательными квадратурами из (419) определятся все остальные неизвестные функции

3) Система (411) представляет собой систему вида

(420)

или в подробной записи

(421)